Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$:

$$2x-8=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Odpowiedź: C. Sprawdzenie: $f(4)=8-8=0$. ✔

O monotoniczności decyduje znak współczynnika kierunkowego $a$.

Tutaj $a=-3<0$, więc funkcja jest malejąca.

Odpowiedź: B. Wyraz wolny $b=7$ nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres wzdłuż osi $OY$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-2}{3-1}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — postać kierunkowa przez punkt $A=(1,2)$:

$$y-2=3(x-1) \quad\Rightarrow\quad y=3x-1$$

Odpowiedź: $y=3x-1$.

Sprawdzenie: dla $x=3$ mamy $y=9-1=8$ — punkt $B$ leży na prostej. ✔

Na osi $OY$ zachodzi $x=0$:

$$f(0)=5\cdot0-10=-10$$

Odpowiedź: A — punkt $(0,-10)$.

Uwaga: punkt $(2,0)$ to miejsce zerowe, czyli przecięcie z osią $OX$ — łatwo je pomylić.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy. Z warunku prostopadłości $a_1a_2=-1$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac{1}{2}$$

Krok 2 — wyraz wolny. Prosta przechodzi przez $(0,3)$, czyli przecina oś $OY$ w $3$, więc $b=3$.

Odpowiedź: $y=-\frac{1}{2}x+3$.

Sprawdzamy kolejno, podstawiając odciętą:

$f(2)=-2+6=4$ — punkt $(2,4)$ pasuje. ✔

$f(6)=-6+6=0\ne6$, $\quad f(0)=6\ne-6$.

Odpowiedź: A.

Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy wynosi zero:

$$m-2=0 \quad\Rightarrow\quad m=2$$

Odpowiedź: $m=2$.

Sprawdzenie: dla $m=2$ mamy $f(x)=5$ — funkcja stała, jej wykresem jest prosta pozioma.

Funkcja liniowa rośnie, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni:

$$m-2>0 \quad\Rightarrow\quad m>2$$

Odpowiedź: $m\in(2,+\infty)$.

Analogicznie: dla $m<2$ funkcja maleje, a dla $m=2$ jest stała.

Krok 1. Pierwsze równanie podaje już $y$, więc podstawiamy je do drugiego:

$$3x+(2x-1)=9$$

Krok 2. Rozwiązujemy względem $x$:

$$5x-1=9 \quad\Rightarrow\quad 5x=10 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3. Wracamy po $y$:

$$y=2\cdot2-1=3$$

Odpowiedź: $x=2$, $y=3$.

Sprawdzenie: $3\cdot2+3=9$. ✔

Porównujemy proporcje współczynników:

$$\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\qquad \frac{5}{12}\ne\frac{1}{2}$$

Współczynniki przy niewiadomych są proporcjonalne, ale wyrazy wolne już nie — proste są równoległe i rozłączne, więc układ jest sprzeczny.

Odpowiedź: B. Gdyby po prawej stronie było $10$, układ byłby nieoznaczony.

Szukamy $f(x)=ax+b$. Warunki dają układ:

$$\begin{cases}a+b=3\-2a+b=-3\end{cases}$$

Odejmujemy stronami (metoda przeciwnych współczynników):

$$3a=6 \quad\Rightarrow\quad a=2$$

Z pierwszego równania: $2+b=3$, więc $b=1$.

Odpowiedź: $f(x)=2x+1$.

Sprawdzenie: $f(-2)=-4+1=-3$. ✔

Krok 1 — punkty przecięcia z osiami.

Z osią $OY$ ($x=0$): $y=6$, czyli punkt $(0,6)$.

Z osią $OX$ ($y=0$): $-2x+6=0$, więc $x=3$, czyli punkt $(3,0)$.

Krok 2 — pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych leżących na osiach:

$$P=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=9$$

Odpowiedź: pole wynosi $9$.

Krok 1 — wzór funkcji. Koszt zależy liniowo od liczby kilometrów $x$:

$$k(x)=3x+8$$

Opłata początkowa to wyraz wolny, cena za kilometr — współczynnik kierunkowy.

Krok 2 — rozwiązanie równania:

$$3x+8=38 \quad\Rightarrow\quad 3x=30 \quad\Rightarrow\quad x=10$$

Odpowiedź: $k(x)=3x+8$; przejechano $10$ km.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:

$$m+1=4 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Odpowiedź: $m=3$.

Uwaga: wyrazy wolne ($-3$ i $2$) są różne, więc proste są rozłączne, a nie pokrywające się — to poprawna równoległość.

$$-2x+6=0 \quad\Rightarrow\quad -2x=-6 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: D. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną łatwo pomylić znak — warto sprawdzić: $f(3)=-6+6=0$. ✔

$$a=\frac{2-0}{4-0}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5$$

Odpowiedź: C.

Uwaga: odwrócenie ułamka dałoby błędne $2$ — w liczniku zawsze różnica rzędnych ($y$), w mianowniku odciętych ($x$).

Gdy $a\ne0$, prosta nie jest pozioma i „przebiega” przez wszystkie wysokości — funkcja przyjmuje każdą wartość rzeczywistą.

Odpowiedź: B.

Wyjątek: dla $a=0$ funkcja jest stała, a zbiorem wartości jest $\{b\}$ — zbiór jednoelementowy.

$$3x-6>0 \quad\Rightarrow\quad 3x>6 \quad\Rightarrow\quad x>2$$

$$x\in(2,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(2,+\infty)$.

Uwaga: dzielimy przez liczbę dodatnią ($3$), więc kierunek nierówności się nie zmienia. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną trzeba by go odwrócić.

Korzystamy z postaci kierunkowej przez punkt:

$$y-y_0=a(x-x_0)$$

$$y-5=-3(x-2)$$

$$y-5=-3x+6 \quad\Rightarrow\quad y=-3x+11$$

Odpowiedź: $y=-3x+11$.

Sprawdzenie: dla $x=2$ mamy $y=-6+11=5$. ✔

W punkcie przecięcia obie funkcje mają tę samą wartość, więc porównujemy prawe strony:

$$2x-3=-x+6$$

$$3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Podstawiamy do dowolnego równania:

$$y=2\cdot3-3=3$$

Odpowiedź: punkt $(3,3)$.

Sprawdzenie w drugim równaniu: $-3+6=3$. ✔