Aby poznać rozwiązanie tego zadania, musimy obliczyć długości przeciwprostokątnych każdego z proponowanych trójkątów. W każdej z odpowiedzi mamy podaną parę długości przyprostokątnych, zatem przeciwprostokątną obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

Odp. A.
$$c^2=4^2+5^2 \           ,\
c^2=16+25 \           ,\
c^2=41 \           ,\
c=\sqrt{41} \quad\lor\quad c=-\sqrt{41}$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{41}\). Od razu też widzimy, że ta odpowiedź nam nie pasuje, bo otrzymaliśmy obwód równy \(4+5+\sqrt{41}=9+\sqrt{41}\).

Odp. B.
$$c^2=3^2+6^2 \           ,\
c^2=9+36 \           ,\
c^2=45 \           ,\
c=\sqrt{45} \quad\lor\quad c=-\sqrt{45}$$

Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=\sqrt{45}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(c=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\). Ta odpowiedź nam pasuje, bo wtedy faktycznie obwód jest równy \(3+6+3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5}\).

Odp. C.
$$c^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2 \           ,\
c^2=4\cdot5+5 \           ,\
c^2=20+5 \           ,\
c^2=25 \           ,\
c=5 \quad\lor\quad c=-5$$

Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=5\). Ta odpowiedź też nam nie pasuje, bo obwód trójkąta wynosi tutaj \(2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}\)

Odp. D.
$$c^2=5^2+(3\sqrt{5})^2 \           ,\
c^2=25+9\cdot5 \           ,\
c^2=25+45 \           ,\
c^2=70 \           ,\
c=\sqrt{70} \quad\lor\quad c=-\sqrt{70}$$

Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=\sqrt{70}\). Ta odpowiedź też nam nie pasuje, ponieważ obwód tego trójkąta wynosi \(5+3\sqrt{5}+\sqrt{70}\).

To oznacza, że prawidłowa jest odpowiedź B.

Dwa trójkąty są przystające wtedy, gdy mają one jednakowe miary boków i jednakowe miary kątów. Miar boków nie jesteśmy w stanie zweryfikować, możemy jedynie przyjrzeć się miarom kątów. Spróbujmy wyznaczyć miarę kąta \(ABD\). Miara tego kąta będzie równa:
$$|\sphericalangle ABD|=360°-122°-122°=116°$$

Widzimy zatem, że kąty w trójkącie \(ABD\) mają inną miarę nić w trójkącie \(BCD\), co sprawia, iż te trójkąty na pewno nie są przystające. Prawidłową odpowiedzią będzie zatem "Nie, ponieważ kąty wewnętrzne przy wierzchołku \(B\) w obu trójkątach są różnej miary".

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy dostrzec, że tak naprawdę z wystających elementów w figurze II da się ułożyć koło z figury I i zostanie nam przy tym jeden mały kwadracik w środku. Skoro więc pole pierwszej figury jest równe \(4y\), a drugiej \(x+4y\), to możemy wywnioskować, że mały kwadracik ma pole równe \(x\), a \(\frac{1}{4}\) koła ma pole \(y\). Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:


Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Widzimy wyraźnie, że figura III będzie mieć pole równe całemu kołu plus mały kwadracik, czyli jest to dokładnie taka sama sytuacja co w figurze II. Z tego też względu pole tej figury będzie takie samo jak na rysunku II.

Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Z rysunku szkicowego widać wyraźnie, że pole IV figury będzie równe \(4x+y\).