1. Liczby odległe od $3$ o mniej niż $5$: $3-5\lt x\lt 3+5$, czyli $x\in(-2,8)$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to rozwiązanie nierówności „$\gt $”; C — środek $-3$; D — końce powinny być otwarte.

1. $|x+2|=|x-(-2)|$ — środek $-2$, promień $4$.
2. „$\ge$” → dwa ramiona: $x\le-6$ lub $x\ge2$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — środek $+2$ zamiast $-2$; D — nierówność nieostra wymaga domkniętych końców.

1. $x-4=6$ lub $x-4=-6$, czyli $x=10$ lub $x=-2$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D — pominięty przypadek ujemny; B — środek $-4$.

1. Środek przedziału: $\dfrac{-3+7}{2}=2$, promień: $\dfrac{7-(-3)}{2}=5$.
2. Końce domknięte → $|x-2|\le5$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? B — zamienione środek i promień; C — opisuje dwa ramiona poza przedziałem.

1. $2x-1\ge3$ lub $2x-1\le-3$.
2. $x\ge2$ lub $x\le-1$, czyli $x\in(-\infty,-1]\cup[2,\infty)$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — przy $2x-1\le-3$ ktoś podzielił źle; najłatwiej: $|2x-1|=2\left|x-\tfrac12\right|\ge3 \Rightarrow \left|x-\tfrac12\right|\ge\tfrac32$.

1. Dwa ramiona, końce otwarte → nierówność ostra typu „$\gt $”.
2. Środek: $\dfrac{-4+2}{2}=-1$, promień: $2-(-1)=3$ → $|x+1|\gt 3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — końce na rysunku są niezamalowane, więc nierówność ostra; A — środek $+1$.

1. 1. Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc $|x-5|\lt 0$ nie ma rozwiązań — prawda.
2. 2. $|x|\le-1$ nie ma żadnego rozwiązania (moduł nie może być ujemny) — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $|x-1|\lt 3 \iff -2\lt x\lt 4$.
2. Liczby całkowite z przedziału $(-2,4)$: $-1,0,1,2,3$ (jest ich $5$).

Odpowiedź: $-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$

1. $\sqrt3\approx1{,}73$, więc $\sqrt3-2\lt 0$ i $|\sqrt3-2|=2-\sqrt3$.
2. $\sqrt3-1\gt 0$, więc $|\sqrt3-1|=\sqrt3-1$.
3. Suma: $2-\sqrt3+\sqrt3-1=1$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — moduł „zdjęty” bez zmiany znaku przy liczbie ujemnej $\sqrt3-2$.

1. $|x-4|\lt 3 \iff 1\lt x\lt 7$, czyli $B=(1,7)$.
2. Część wspólna: liczby w obu zbiorach — $(1,5)$ (liczba $5\notin A$).
3. Suma: od $-3$ (włącznie) do $7$ (bez) — $[-3,7)$.

Odpowiedź: $A\cap B=(1,5)$, $A\cup B=[-3,7)$

1. Wartość bezwzględna to odległość od zera: $5$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.

1. $|{-4}|=4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B pomija wartość bezwzględna.

1. $x=4$ lub $x=-4$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A gubi drugie rozwiązanie.

1. $-3\lt x\lt 3$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A błędnie domyka końce.

1. $x-2=5$ lub $x-2=-5$.
2. $x=7$ lub $x=-3$.

Odpowiedź: $x=7$ lub $x=-3$