LekcjeRazem

Niech $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=2\alpha$. Oznaczmy $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$ (boki naprzeciw kątów $A,B,C$). Z twierdzenia sinusów przy promieniu okręgu opisanego $R$:

(bo $\angle ACB=\pi-3\alpha$, a $\sin(\pi-3\alpha)=\sin 3\alpha$).

Ze wzoru na sumę sinusów $\sin\alpha+\sin 3\alpha=2\sin 2\alpha\cos\alpha$:

bo $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha$. Zatem $a^{2}+ac=4R^{2}\sin^{2}2\alpha$.

(Założenie, że trójkąt nie jest równoramienny, gwarantuje $\alpha\neq 2\alpha$ i poprawność konstrukcji.)