Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $BC$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$. Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie zadania — pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
Krok 1: Ustalenie oznaczeń i warunków zadania
Prostopadłościan $ABCDEFGH$ ma trzy pary krawędzi o długościach $a$, $b$, $c$.
Przyjmijmy, że z wierzchołka $B$ wychodzą trzy krawędzie:
krawędź $AB$ o długości $x$,
krawędź $BC$ o długości $4$,
krawędź $BF$ o długości $h$ (wysokość prostopadłościanu).
Warunek zadania: suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ wynosi $15$, zatem:
$$x + 4 + h = 15$$
Stąd:
$$h = 11 - x$$
Krok 2: Dziedzina funkcji $P$
Każda krawędź prostopadłościanu musi mieć dodatnią długość, więc:
$$x > 0 \qquad \text{oraz} \qquad h = 11 - x > 0$$
Z drugiego warunku: $x < 11$.
Zatem dziedzina funkcji $P$ to:
$$\boxed{x \in (0,\, 11)}$$
Funkcja $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ jest parabolą skierowaną ramionami w dół (współczynnik przy $x^2$ jest ujemny), więc posiada maksimum globalne w wierzchołku.
Pole powierzchni całkowitej największego z rozważanych prostopadłościanów wynosi $148{,}5$.
Odpowiedź końcowa:
Wzór funkcji pola powierzchni całkowitej:
$$P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \quad x \in (0,\, 11)$$
Pole powierzchni całkowitej jest największe dla prostopadłościanu, w którym krawędź $AB$ ma długość:
$$\boxed{x = \frac{11}{2} = 5{,}5}$$
Pierwszy miesiąc za 0 zł. Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.
