Rozwiązanie
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ z kątem prostym w wierzchołku $A$, gdzie $BC$ jest przeciwprostokątną, $AB = 6$, a $CD$ jest środkową o długości $5$. Punkt $D$ leży na boku $AB$, ponieważ $CD$ jest środkową poprowadzoną z wierzchołka $C$.
-
Krok 1: Ustalenie położenia punktu D
Środkowa $CD$ jest odcinkiem łączącym wierzchołek $C$ z punktem środkowym przeciwległego boku. W trójkącie $ABC$ środkowa z $C$ prowadzi do środka boku $AB$. Zatem punkt $D$ jest środkiem odcinka $AB$, co oznacza:
$$AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
-
Krok 2: Obliczenie długości przyprostokątnej AC
W trójkącie prostokątnym $ACD$ (kąt prosty w $A$) znamy: $AD = 3$ oraz $CD = 5$. Z twierdzenia Pitagorasa:
$$AC^2 + AD^2 = CD^2$$
$$AC^2 + 9 = 25$$
$$AC^2 = 16 \implies AC = 4$$
-
Krok 3: Obliczenie $\tan \alpha$, gdzie $\alpha = \angle ADC$
Rozważamy trójkąt prostokątny $ACD$ z kątem prostym w $A$:
- Kąt $\alpha = \angle ADC$ jest zawarty w tym trójkącie,
- przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta $\alpha$ to $AC = 4$,
- przyprostokątna przyległa do kąta $\alpha$ to $AD = 3$.
Zatem:
$$\tan \alpha = \frac{AC}{AD} = \frac{4}{3}$$
-
Krok 4: Weryfikacja i analiza odpowiedzi
Odpowiedź D) $\dfrac{4}{3}$ — POPRAWNA. Wynika bezpośrednio z obliczenia $\tan \alpha = \dfrac{AC}{AD} = \dfrac{4}{3}$.
Odpowiedź A) $\dfrac{2}{3}$ — BŁĘDNA. Mogłaby powstać przez błędne przyjęcie $AC = 2$ zamiast $AC = 4$, np. wskutek pomyłki w twierdzeniu Pitagorasa.
Odpowiedź B) $\dfrac{3}{4}$ — BŁĘDNA. Jest to wartość $\tan(\angle ACD)$, czyli tangens kąta przy wierzchołku $C$, a nie przy $D$ — mylenie kąta $\alpha$ z jego dopełnieniem do $90°$.
Odpowiedź C) $\dfrac{4}{5}$ — BŁĘDNA. Jest to wartość $\sin \alpha = \dfrac{AC}{CD} = \dfrac{4}{5}$, a nie $\tan \alpha$ — mylenie funkcji trygonometrycznych.
Wynik końcowy:
$$\tan \alpha = \frac{4}{3}$$
Odpowiedź: D)
