Rozwiązanie
-
Krok 1: Wyznaczenie równania cięciwy AB (odjęcie równań okręgów)
Rozwijamy oba równania okręgów:
$\mathcal{O}_1$: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$
$$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 5 \implies x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$$
$\mathcal{O}_2$: $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 45$
$$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 45 \implies x^2 + y^2 - 4x - 8y - 25 = 0$$
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy $x^2 + y^2$):
$$(x^2 + y^2 - 4x - 8y - 25) - (x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5) = 0$$
$$-4x - 8y - 25 + 2x - 6y - 5 = 0$$
$$-2x - 14y - 30 = 0$$
$$x + 7y + 15 = 0 \implies x = -7y - 15$$
Jest to równanie prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ (tzw. cięciwa radykalna).
-
Krok 2: Wyznaczenie współrzędnych punktów A i B
Podstawiamy $x = -7y - 15$ do równania $\mathcal{O}_1$:
$$(-7y - 15 - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5$$
$$(-7y - 16)^2 + (y + 3)^2 = 5$$
$$(7y + 16)^2 + (y + 3)^2 = 5$$
$$49y^2 + 224y + 256 + y^2 + 6y + 9 = 5$$
$$50y^2 + 230y + 265 = 5$$
$$50y^2 + 230y + 260 = 0$$
$$y^2 + \frac{23}{5}y + \frac{26}{5} = 0$$
Dzielimy przez $10$:
$$5y^2 + 23y + 26 = 0$$
Wyróżnik: $\Delta = 23^2 - 4 \cdot 5 \cdot 26 = 529 - 520 = 9$
$$y = \frac{-23 \pm 3}{10}$$
$$y_1 = \frac{-23 + 3}{10} = \frac{-20}{10} = -2, \qquad y_2 = \frac{-23 - 3}{10} = \frac{-26}{10} = -\frac{13}{5}$$
Wyznaczamy odpowiadające wartości $x = -7y - 15$:
- Dla $y_1 = -2$: $\quad x_1 = -7 \cdot (-2) - 15 = 14 - 15 = -1$
- Dla $y_2 = -\frac{13}{5}$: $\quad x_2 = -7 \cdot \left(-\frac{13}{5}\right) - 15 = \frac{91}{5} - \frac{75}{5} = \frac{16}{5}$
Ponieważ punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią, przyporządkowujemy:
$$\boxed{A = \left(\frac{16}{5},\ -\frac{13}{5}\right)}, \qquad \boxed{B = (-1,\ -2)}$$
Sprawdzenie dla A w $\mathcal{O}_1$: $\left(\frac{16}{5}-1\right)^2 + \left(-\frac{13}{5}+3\right)^2 = \left(\frac{11}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{121+4}{25} = \frac{125}{25} = 5$ ✓
-
Krok 3: Wyznaczenie punktu M z warunku wektorowego
Dany warunek: $\overrightarrow{AM} = -2 \cdot \overrightarrow{BM}$
Niech $M = (x, y)$. Zapisujemy wektory:
$$\overrightarrow{AM} = \left(x - \frac{16}{5},\ y + \frac{13}{5}\right), \qquad \overrightarrow{BM} = (x+1,\ y+2)$$
Z równania wektorowego:
$$\left(x - \frac{16}{5},\ y + \frac{13}{5}\right) = -2\left(x+1,\ y+2\right)$$
Pierwsza współrzędna:
$$x - \frac{16}{5} = -2(x+1) = -2x - 2$$
$$3x = -2 + \frac{16}{5} = \frac{-10 + 16}{5} = \frac{6}{5}$$
$$x = \frac{2}{5}$$
Druga współrzędna:
$$y + \frac{13}{5} = -2(y+2) = -2y - 4$$
$$3y = -4 - \frac{13}{5} = \frac{-20 - 13}{5} = -\frac{33}{5}$$
$$y = -\frac{11}{5}$$
Wynik końcowy
$$A = \left(\frac{16}{5},\ -\frac{13}{5}\right), \qquad B = \left(-1,\ -2\right), \qquad M = \left(\frac{2}{5},\ -\frac{11}{5}\right)$$