LekcjeRazem

Rozwiązanie zadania: Trapez ABCD z punktami środkowymi ramion

1. Krok 1: Oznaczenia i wzór na pole trapezu

   Niech $|AB| = a$, $|CD| = c$ oraz $h$ oznacza wysokość trapezu $ABCD$.

   Ponieważ $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a $F$ jest środkiem ramienia $BC$, odcinek $EF$ jest linią środkową trapezu $ABCD$.

   Z własności linii środkowej trapezu:

   $$|EF| = \frac{|AB| + |CD|}{2} = \frac{a + c}{2}$$
2. Krok 2: Wyznaczenie wysokości trapezów $ABFE$ i $EFCD$

   Ponieważ $E$ jest środkiem $AD$, a $F$ jest środkiem $BC$, linia środkowa $EF$ dzieli trapez $ABCD$ na dwa trapezy o równych wysokościach.

   Oznaczmy wysokość trapezu $ABCD$ jako $h$. Wówczas:

   • Wysokość trapezu $ABFE$ wynosi $\dfrac{h}{2}$,
   • Wysokość trapezu $EFCD$ wynosi $\dfrac{h}{2}$.

   Uzasadnienie: Odległość między prostymi $AB$ i $EF$ wynosi połowę odległości między $AB$ i $CD$, ponieważ $E$, $F$ leżą w połowach odpowiednich ramion – każde ramię jest przecięte w pół, więc odległości między równoległymi prostymi $AB$, $EF$, $CD$ są równe.

3. Krok 3: Obliczenie pól obu trapezów

   Pole trapezu $ABFE$ (podstawy $|AB| = a$ i $|EF| = \frac{a+c}{2}$, wysokość $\frac{h}{2}$):

   $$P_{ABFE} = \frac{a + \frac{a+c}{2}}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{\frac{2a + a + c}{2}}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{3a + c}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{(3a+c)h}{8}$$

   Pole trapezu $EFCD$ (podstawy $|EF| = \frac{a+c}{2}$ i $|CD| = c$, wysokość $\frac{h}{2}$):

   $$P_{EFCD} = \frac{\frac{a+c}{2} + c}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{\frac{a + 3c}{2}}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{a+3c}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{(a+3c)h}{8}$$
4. Krok 4: Zastosowanie warunku z treści zadania

   Zgodnie z treścią zadania:

   $$\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \frac{1}{2}$$

   Podstawiamy obliczone pola:

   $$\frac{\dfrac{(a+3c)h}{8}}{\dfrac{(3a+c)h}{8}} = \frac{1}{2}$$

   Upraszczamy (czynniki $h$ i $8$ skracają się):

   $$\frac{a + 3c}{3a + c} = \frac{1}{2}$$
5. Krok 5: Rozwiązanie równania

   Mnożymy obie strony przez $2(3a + c)$:

   $$2(a + 3c) = 3a + c$$ $$2a + 6c = 3a + c$$ $$6c - c = 3a - 2a$$ $$5c = a$$

   Zatem:

   $$\frac{c}{a} = \frac{1}{5}$$
6. Krok 6: Wniosek końcowy

   Skoro $c = |CD|$ oraz $a = |AB|$, otrzymujemy:

   $$\boxed{\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{c}{a} = \frac{1}{5}}$$

   Co kończy dowód. $\blacksquare$