Rozważamy prostopadłościan $ABCDEFGH$, w którym $BC = 4$ oraz suma długości krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ wynosi $15$.
-
Krok 1: Ustalenie oznaczeń i warunków zadania.
Prostopadłościan ma trzy wymiary: $AB$, $BC$, $BF$ (krawędzie wychodzące z wierzchołka $B$). Przyjmijmy:
- $AB = x$ — szukana zmienna,
- $BC = 4$ — dane,
- $BF = z$ — trzeci wymiar.
Warunek sumy krawędzi wychodzących z $B$:
$$AB + BC + BF = 15$$
$$x + 4 + z = 15$$
$$z = 11 - x$$
-
Krok 2: Wyznaczenie dziedziny funkcji $P$.
Każdy wymiar prostopadłościanu musi być dodatni:
$$x > 0 \quad \text{oraz} \quad z = 11 - x > 0 \implies x < 11$$
Zatem dziedzina funkcji $P$ to:
$$x \in (0,\ 11)$$
-
Krok 3: Wzór na pole powierzchni całkowitej.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach $a = x$, $b = 4$, $c = 11 - x$ wynosi:
$$P = 2(ab + bc + ac)$$
$$P(x) = 2\bigl(x \cdot 4 + 4 \cdot (11 - x) + x \cdot (11 - x)\bigr)$$
$$P(x) = 2\bigl(4x + 44 - 4x + 11x - x^2\bigr)$$
$$P(x) = 2\bigl(44 + 11x - x^2\bigr)$$
$$\boxed{P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \quad x \in (0,\ 11)}$$
-
Krok 4: Wyznaczenie maksimum funkcji $P(x)$.
Funkcja $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ jest parabolą skierowaną ramionami w dół (współczynnik przy $x^2$ jest ujemny: $a = -2 < 0$), zatem osiąga maksimum w wierzchołku paraboli.
Odcięta wierzchołka paraboli $ax^2 + bx + c$:
$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{22}{2 \cdot (-2)} = -\frac{22}{-4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2}$$
Sprawdzamy, czy $x_0 = \frac{11}{2} \in (0,\ 11)$: tak, ponieważ $0 < \frac{11}{2} < 11$. ✓
-
Krok 5: Weryfikacja i wyliczenie wartości maksymalnej.
Dla $x = \frac{11}{2}$ wymiary prostopadłościanu są:
- $AB = \frac{11}{2}$,
- $BC = 4$,
- $BF = 11 - \frac{11}{2} = \frac{11}{2}$.
Maksymalne pole powierzchni całkowitej:
$$P\!\left(\frac{11}{2}\right) = -2\cdot\left(\frac{11}{2}\right)^2 + 22\cdot\frac{11}{2} + 88 = -2\cdot\frac{121}{4} + 121 + 88 = -\frac{121}{2} + 209 = \frac{297}{2} = 148{,}5$$
Odpowiedź końcowa:
Wzór funkcji pola powierzchni całkowitej:
$$P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \quad x \in (0,\, 11)$$
Pole powierzchni całkowitej jest największe dla prostopadłościanu, którego krawędź $AB$ ma długość:
$$\boxed{x = \dfrac{11}{2}}$$
