LekcjeRazem

Rozwiązanie

1. Krok 1: Warunek równoległości dwóch prostych

   Dwie proste są równoległe (i różne), gdy mają równe współczynniki kierunkowe oraz różne wyrazy wolne.

   Dla prostych w postaci $y = a_1x + b_1$ oraz $y = a_2x + b_2$ warunek równoległości to:

   $$a_1 = a_2 \quad \text{oraz} \quad b_1 \neq b_2$$
2. Krok 2: Odczytanie współczynników kierunkowych

   Prosta $k: y = (m-2)x + 5$ ma współczynnik kierunkowy $a_1 = m - 2$.

   Prosta $l: y = -4x + (m+3)$ ma współczynnik kierunkowy $a_2 = -4$.

3. Krok 3: Przyrównanie współczynników kierunkowych

   Z warunku równoległości $a_1 = a_2$:

   $$m - 2 = -4$$ $$m = -4 + 2$$ $$m = -2$$
4. Krok 4: Sprawdzenie, czy proste nie są tożsame

   Dla $m = -2$ obliczamy wyrazy wolne obu prostych:

   • Prosta $k$: wyraz wolny $b_1 = 5$
   • Prosta $l$: wyraz wolny $b_2 = m + 3 = -2 + 3 = 1$

   Ponieważ $b_1 = 5 \neq 1 = b_2$, proste są rzeczywiście równoległe (a nie tożsame). ✓

5. Krok 5: Analiza odpowiedzi

   Odpowiedź A) $m = -2$ — POPRAWNA. Dla $m = -2$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $-2 - 2 = -4$, co jest równe współczynnikowi kierunkowemu prostej $l$, a wyrazy wolne są różne ($5 \neq 1$), więc proste są równoległe.

   Odpowiedź B) $m = 2$ — BŁĘDNA. Dla $m = 2$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $2 - 2 = 0 \neq -4$. Proste nie są równoległe.

   Odpowiedź C) $m = -4$ — BŁĘDNA. Dla $m = -4$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $-4 - 2 = -6 \neq -4$. Proste nie są równoległe. (Uwaga: $m = -4$ myli się z wartością współczynnika kierunkowego prostej $l$.)

   Odpowiedź D) $m = 5$ — BŁĘDNA. Dla $m = 5$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $5 - 2 = 3 \neq -4$. Proste nie są równoległe. (Uwaga: $m = 5$ myli się z wyrazem wolnym prostej $k$.)

Wynik końcowy:

Proste $k$ i $l$ są równoległe dla $m = -2$.

$$\boxed{m = -2}$$

Odpowiedź: A