LekcjeRazem

Rozwiązanie – Zadanie 6.1

Analiza wykresu i identyfikacja przemian

Na wykresie $p(T)$ mamy cykl $A \to B \to C \to A$. Na podstawie typowego układu tego zadania:

• Przemiana $A \to B$: prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (czyli $p/T = \text{const}$, co przy stałej masie gazu oznacza $V = \text{const}$) – przemiana izochoryczna, przy czym $T$ i $p$ rosną.
• Przemiana $B \to C$: pozioma linia na wykresie $p(T)$, czyli $p = \text{const}$ – przemiana izobaryczna, przy czym $T$ maleje (powrót do niższej temperatury).
• Przemiana $C \to A$: linia prosta na wykresie $p(T)$, łącząca punkty $C$ i $A$, ale nie przechodząca przez początek układu – przemiana ogólna (politropowa).

Stwierdzenie 1: „W przemianie $A \to B$ energia wewnętrzna gazu wzrosła."

1. Krok 1 – Identyfikacja przemiany $A \to B$.
   Przemiana $A \to B$ jest izochoryczna ($V = \text{const}$). Na wykresie $p(T)$ odpowiada jej odcinek wychodzący z początku układu, wzdłuż którego temperatura rośnie: $T_A < T_B$.

2. Krok 2 – Energia wewnętrzna gazu doskonałego.
   Energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy wyłącznie od temperatury: $$\Delta U = n C_V \Delta T = n \cdot \frac{3}{2}R \cdot (T_B - T_A)$$ Ponieważ $T_B > T_A$, mamy $\Delta T > 0$, a więc $\Delta U > 0$.

3. Krok 3 – Wniosek.
   Energia wewnętrzna gazu wzrosła.

Stwierdzenie 1: P (PRAWDA)

Stwierdzenie 2: „W przemianie $C \to A$ gaz pobrał ciepło z otoczenia."

1. Krok 1 – Identyfikacja przemiany $C \to A$.
   Przemiana $C \to A$ przebiega od punktu $C$ (wysoka temperatura, niskie ciśnienie) do punktu $A$ (niska temperatura, niskie ciśnienie). Jest to przemiana, w której zarówno $T$, jak i $p$ maleją.

2. Krok 2 – Zmiana energii wewnętrznej.
   Temperatura maleje: $T_C > T_A$ (punkt $C$ leży na izobarze powyżej $A$ w sensie temperatury), zatem: $$\Delta U_{C \to A} = n C_V (T_A - T_C) < 0$$ Energia wewnętrzna maleje.

3. Krok 3 – Praca w przemianie $C \to A$.
   Na wykresie $p(T)$ zmiana objętości wynika z równania gazu doskonałego $pV = nRT$, czyli $V = nRT/p$. W przemianie $C \to A$ zarówno $T$ maleje, jak i $p$ maleje – szczegółowa analiza wskazuje, że objętość maleje ($V_A = V_1 < V_C$), a więc gaz jest sprężany: praca wykonana przez gaz jest ujemna: $$W_{C \to A} < 0$$

4. Krok 4 – Pierwsza zasada termodynamiki.
   $$Q_{C \to A} = \Delta U_{C \to A} + W_{C \to A}$$ Obie składowe są ujemne, więc $Q_{C \to A} < 0$. Gaz oddaje ciepło otoczeniu, a nie pobiera.

Stwierdzenie 2: F (FAŁSZ)

Stwierdzenie 3: „Wartość bezwzględna pracy siły parcia gazu w przemianie $B \to C$ jest równa wartości bezwzględnej ciepła pobranego w tej przemianie."

1. Krok 1 – Identyfikacja przemiany $B \to C$.
   Przemiana $B \to C$ jest izobaryczna ($p = \text{const} = p_B$). Temperatura maleje: $T_B > T_C$.

2. Krok 2 – Zmiana energii wewnętrznej.
   $$\Delta U_{B \to C} = n C_V (T_C - T_B) \neq 0$$ Ponieważ $T_C \neq T_B$, energia wewnętrzna zmienia się (maleje).

3. Krok 3 – Pierwsza zasada termodynamiki dla przemiany izobarycznej.
   $$Q_{B \to C} = \Delta U_{B \to C} + W_{B \to C}$$ Ponieważ $\Delta U_{B \to C} \neq 0$, nie zachodzi równość $|W_{B \to C}| = |Q_{B \to C}|$.

4. Krok 4 – Kiedy zachodziłaby równość $|W| = |Q|$?
   Równość $|W| = |Q|$ (przy $\Delta U = 0$) zachodzi wyłącznie w przemianie izotermicznej. Przemiana izobaryczna z $\Delta T \neq 0$ nią nie jest. Dla przemiany izobarycznej: $$Q_{B \to C} = n C_p \Delta T, \quad W_{B \to C} = p \Delta V = nR\Delta T$$ $$\frac{|W|}{|Q|} = \frac{nR|\Delta T|}{nC_p|\Delta T|} = \frac{R}{C_p} = \frac{R}{\frac{3}{2}R + R} = \frac{R}{\frac{5}{2}R} = \frac{2}{5} \neq 1$$

Stwierdzenie 3: F (FAŁSZ)

Wynik końcowy