Rozwiązanie zadania 10.2
Dane z wykresów i ustalenie wykładników a i b
Na podstawie analizy wykresów:
- Linia czerwona ($v$ vs $c_{\text{X}_2}$ przy $c_{\text{Y}_2} = 1\ \text{mol·dm}^{-3}$): zależność liniowa → wykładnik $a = 1$
- Linia zielona ($v$ vs $c_{\text{Y}_2}$ przy $c_{\text{X}_2} = 1\ \text{mol·dm}^{-3}$): zależność paraboliczna (kwadratowa) → wykładnik $b = 2$
Równanie kinetyczne ma postać:
$$v = k \cdot c_{\text{X}_2}^{1} \cdot c_{\text{Y}_2}^{2}$$
Obliczenia
-
Ustalenie stechiometrii reakcji i składu mieszaniny początkowej
Reakcja syntezy gazu $\text{XY}_2$:
$$\text{X}_2 + 2\,\text{Y}_2 \rightarrow 2\,\text{XY}_2$$
Stosunek stechiometryczny: $n(\text{X}_2) : n(\text{Y}_2) = 1 : 2$
Łączna liczba moli wynosi 12,0 mol, zatem:
$$n(\text{X}_2) = \frac{1}{3} \cdot 12{,}0 = 4{,}0\ \text{mol}, \qquad n(\text{Y}_2) = \frac{2}{3} \cdot 12{,}0 = 8{,}0\ \text{mol}$$
Stężenia początkowe (reaktor o pojemności $V = 4{,}0\ \text{dm}^3$):
$$c_0(\text{X}_2) = \frac{4{,}0\ \text{mol}}{4{,}0\ \text{dm}^3} = 1{,}0\ \text{mol·dm}^{-3}$$
$$c_0(\text{Y}_2) = \frac{8{,}0\ \text{mol}}{4{,}0\ \text{dm}^3} = 2{,}0\ \text{mol·dm}^{-3}$$
-
Odczytanie szybkości z wykresu i obliczenie stałej szybkości $k$
Z wykresu (linia zielona: $c_{\text{X}_2} = 1\ \text{mol·dm}^{-3}$) odczytujemy przykładowo:
dla $c_{\text{Y}_2} = 1\ \text{mol·dm}^{-3}$ → $v = 1\ \text{mol·dm}^{-3}\text{·s}^{-1}$
Podstawiamy do równania kinetycznego:
$$v = k \cdot c_{\text{X}_2} \cdot c_{\text{Y}_2}^{2}$$
$$1 = k \cdot 1 \cdot 1^2$$
$$\boxed{k = 1\ \text{mol}^{-2}\text{·dm}^{6}\text{·s}^{-1}}$$
Jednostka stałej szybkości dla reakcji trzeciego rzędu ($a + b = 1 + 2 = 3$):
$$[k] = \frac{\text{mol·dm}^{-3}\text{·s}^{-1}}{(\text{mol·dm}^{-3})^3} = \text{mol}^{-2}\text{·dm}^{6}\text{·s}^{-1}$$
-
Wyznaczenie składu mieszaniny w chwili, gdy łączna liczba moli wynosi 9,0 mol
Niech $x$ oznacza liczbę moli $\text{X}_2$, które przereagowały. Zgodnie ze stechiometrią:
- ubytek $\text{X}_2$: $x$ mol
- ubytek $\text{Y}_2$: $2x$ mol
- przyrost $\text{XY}_2$: $2x$ mol
Łączna liczba moli w chwili $t$:
$$(4{,}0 - x) + (8{,}0 - 2x) + 2x = 9{,}0$$
$$12{,}0 - x = 9{,}0$$
$$x = 3{,}0\ \text{mol}$$
Liczba moli poszczególnych składników:
$$n(\text{X}_2) = 4{,}0 - 3{,}0 = 1{,}0\ \text{mol}$$
$$n(\text{Y}_2) = 8{,}0 - 6{,}0 = 2{,}0\ \text{mol}$$
$$n(\text{XY}_2) = 2 \cdot 3{,}0 = 6{,}0\ \text{mol}$$
Stężenia molowe substratów:
$$c(\text{X}_2) = \frac{1{,}0\ \text{mol}}{4{,}0\ \text{dm}^3} = 0{,}25\ \text{mol·dm}^{-3}$$
$$c(\text{Y}_2) = \frac{2{,}0\ \text{mol}}{4{,}0\ \text{dm}^3} = 0{,}50\ \text{mol·dm}^{-3}$$
-
Obliczenie szybkości reakcji w danej chwili
$$v = k \cdot c(\text{X}_2) \cdot c(\text{Y}_2)^{2}$$
$$v = 1\ \text{mol}^{-2}\text{·dm}^{6}\text{·s}^{-1} \cdot 0{,}25\ \text{mol·dm}^{-3} \cdot (0{,}50\ \text{mol·dm}^{-3})^2$$
$$v = 1 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}25\ \text{mol·dm}^{-3}\text{·s}^{-1}$$
$$\boxed{v = 0{,}0625\ \text{mol·dm}^{-3}\text{·s}^{-1} \approx 6{,}25 \times 10^{-2}\ \text{mol·dm}^{-3}\text{·s}^{-1}}$$
Podsumowanie wyników
- Wykładnik $a = \mathbf{1}$, wykładnik $b = \mathbf{2}$
- Równanie kinetyczne: $v = k \cdot c_{\text{X}_2} \cdot c_{\text{Y}_2}^{2}$
- Stała szybkości: $k = \mathbf{1\ \text{mol}^{-2}\text{·dm}^{6}\text{·s}^{-1}}$
- Szybkość reakcji gdy $n_{\text{całk.}} = 9{,}0\ \text{mol}$: $\boldsymbol{v = 6{,}25 \times 10^{-2}\ \text{mol·dm}^{-3}\text{·s}^{-1}}$
