Silnia to iloczyn kolejnych liczb naturalnych:

$$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

Odpowiedź: C. $24$.

To permutacja pięciu elementów:

$$P_5=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$

Skąd to wynika: na pierwsze miejsce mamy $5$ możliwości, na drugie $4$, i tak dalej — mnożymy.

Odpowiedź: $120$ sposobów.

Na każdej z trzech pozycji mamy $10$ możliwości:

$$10\cdot10\cdot10=10^3=1000$$

To wariacja z powtórzeniami: $n^k$, gdzie $n=10$, $k=3$.

Odpowiedź: $1000$ kodów.

Z definicji przyjmujemy:

$$0!=1$$

Dlaczego tak: istnieje dokładnie jeden sposób ustawienia pustego zbioru — nie robić nic. Ta umowa sprawia też, że wzory kombinatoryczne działają bez wyjątków.

Odpowiedź: B. $1$.

Rozpisujemy licznik tylko do $4!$ i skracamy:

$$\frac{6!}{4!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!}=6\cdot5=30$$

Odpowiedź: $30$.

Wybieramy $3$ elementy z $5$, przy czym kolejność ma znaczenie, a elementy się nie powtarzają:

$$5\cdot4\cdot3=60$$

Wzór: $\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{2!}=60$.

Dla porównania: $125=5^3$ to wariacje z powtórzeniami.

Odpowiedź: A. $60$.

To permutacja czterech elementów:

$$4!=24$$

Uwaga: zero nie występuje wśród cyfr, więc żadna z tych liczb nie zaczyna się od zera — nie musimy nic odejmować.

Odpowiedź: $24$ liczby.

Rozpoznanie: kolejność ma znaczenie (przewodniczący to inna funkcja niż zastępca), a jedna osoba nie może pełnić obu — to wariacja bez powtórzeń.

$$12\cdot11=132$$

Odpowiedź: $132$ sposoby.

Każda moneta daje $2$ możliwości, a monety są rozróżnialne:

$$2^3=8$$

Wypisanie: OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR.

Odpowiedź: D. $8$.

Rozpoznanie: nagrody są różne, więc kolejność przydziału ma znaczenie; jedna osoba nie może dostać dwóch — bez powtórzeń.

$$7\cdot6\cdot5=210$$

Wzór: $\frac{7!}{4!}=210$.

Odpowiedź: $210$ sposobów.

Na każdej z pięciu pozycji mamy $2$ możliwości:

$$2^5=32$$

To wariacja z powtórzeniami — litery mogą się powtarzać.

Odpowiedź: C. $32$.

Z powtórzeniami — na każdej pozycji $10$ cyfr:

$$10^4=10\,000$$

Bez powtórzeń — liczba możliwości maleje o jeden przy każdej kolejnej pozycji:

$$10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$$

Obserwacja: zakaz powtórzeń zmniejsza liczbę kodów prawie o połowę.

Odpowiedź: $10\,000$ oraz $5040$.

To permutacja sześciu elementów:

$$6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720$$

Odpowiedź: $720$ sposobów.

Zestawienie wzorów:

• $n!$ — permutacje (ustawienia wszystkich elementów)
• $n^k$ — wariacje z powtórzeniami
• $\frac{n!}{(n-k)!}$ — wariacje bez powtórzeń
• $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — kombinacje (kolejność nieistotna)

Odpowiedź: B. $n^k$.

Litery mają być różne, a kolejność ma znaczenie:

$$26\cdot25\cdot24=15\,600$$

Dla porównania: gdyby litery mogły się powtarzać, byłoby $26^3=17\,576$.

Odpowiedź: $15\,600$.

Skracamy $6!$ w liczniku i mianowniku:

$$\frac{8\cdot7\cdot6!}{6!\cdot2}=\frac{56}{2}=28$$

Uwaga: to wzór na kombinacje — wybór $2$ elementów z $8$ bez uwzględniania kolejności.

Odpowiedź: A. $28$.

Krok 1 — wszystkie ustawienia:

$$4!=24$$

Krok 2 — odrzucamy te zaczynające się od zera. Jeśli zero stoi na pierwszym miejscu, pozostałe trzy cyfry można ustawić na:

$$3!=6\ \text{sposobów}$$

Takie zapisy nie są liczbami czterocyfrowymi.

Krok 3 — odejmujemy:

$$24-6=18$$

Kontrola inną drogą. Na pierwsze miejsce mamy $3$ możliwości (bez zera), a pozostałe trzy pozycje wypełniamy dowolnie: $3\cdot3!=3\cdot6=18$ ✔

Odpowiedź: $18$ liczb.