Podstawowa tożsamość trygonometryczna:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$

Skąd: to twierdzenie Pitagorasa w kole jednostkowym.

Odpowiedź: B.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Kąt ostry → cosinus dodatni:

$$\cos x=\frac45$$

Odpowiedź: $\cos x=\frac45$.

Z definicji tangensa:

$$\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

Założenie: $\cos x\neq0$.

Odpowiedź: C. $\operatorname{tg}x$.

Z jedynki trygonometrycznej, dla dowolnego kąta:

$$\sin^2 30^\circ+\cos^2 30^\circ=1$$

Sprawdzenie: $\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

Przekształcamy jedynkę trygonometryczną:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin^2 x=1-\cos^2 x$$

Odpowiedź: A. $\sin^2 x$.

$$\sin^2 x=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$$

$$\sin x=\frac{5}{13}$$

Odpowiedź: $\sin x=\frac{5}{13}$.

Krok 1 — zamieniamy tangens na $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\sin x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}+\cos x=\frac{\sin^2 x}{\cos x}+\cos x$$

Krok 2 — wspólny mianownik:

$$\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos x}$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\frac{1}{\cos x}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{\cos x}$.

Skracamy $\sin x$ i $\cos x$:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=1$$

Interpretacja: to iloczyn $\operatorname{tg}x$ i $\operatorname{ctg}x$, które są swoimi odwrotnościami.

Odpowiedź: $1$.

Wzór na sinus sumy:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Uwaga: odpowiedź C to wzór na $\cos(\alpha+\beta)$.

Odpowiedź: D.

Krok 1 — przekształcamy licznik jedynką trygonometryczną:

$$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\frac{\sin^2 x}{\sin x}$$

Krok 3 — skracamy:

$$\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x \qquad ∎$$

Wniosek: tożsamość zachodzi dla każdego $x$, dla którego $\sin x\neq0$.

Wzór na sinus podwojonego kąta:

$$\sin2x=2\sin x\cos x$$

Odpowiedź: B. $2\sin x\cos x$.

Sinus podwojonego kąta:

$$\sin2x=2\cdot0{,}6\cdot0{,}8=0{,}96$$

Cosinus podwojonego kąta:

$$\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x=0{,}64-0{,}36=0{,}28$$

Kontrola jedynką: $0{,}96^2+0{,}28^2=0{,}9216+0{,}0784=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin2x=0{,}96$, $\cos2x=0{,}28$.

Krok 1 — redukujemy wyrazy z $\sin^2 x$:

$$\cos^2 x+\sin^2 x$$

Krok 2 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$

Odpowiedź: $1$.

Rozpisujemy tangens:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x$$

Odpowiedź: A. $\sin x$.

Wzór na cosinus sumy:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Podstawiamy:

$$\cos75^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259$.

Jedna z postaci wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$$\cos2x=2\cos^2 x-1$$

Wyprowadzenie: z $\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ i $\sin^2 x=1-\cos^2 x$.

Odpowiedź: C. $2\cos^2 x-1$.

Krok 1 — wspólny mianownik $\sin x(1+\cos x)$:

$$\frac{\sin^2 x+(1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$$

Krok 2 — rozwijamy licznik:

$$\sin^2 x+1+2\cos x+\cos^2 x$$

Krok 3 — grupujemy jedynkę trygonometryczną:

$$\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)+1+2\cos x=1+1+2\cos x=2+2\cos x$$

Krok 4 — wyłączamy $2$ i skracamy:

$$\frac{2(1+\cos x)}{\sin x(1+\cos x)}=\frac{2}{\sin x} \qquad ∎$$

Kluczowy moment. Czynnik $(1+\cos x)$ skrócił się — to dlatego licznik trzeba było rozwinąć i zwinąć jedynką trygonometryczną.

Wniosek: obie strony są równe $\frac{2}{\sin x}$, więc tożsamość zachodzi dla wszystkich dopuszczalnych $x$.

Krok 1 — związek tangensa z sinusem i cosinusem:

$$\frac{\sin x}{\cos x}=2 \quad\Rightarrow\quad \sin x=2\cos x$$

Krok 2 — podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:

$$(2\cos x)^2+\cos^2 x=1 \quad\Rightarrow\quad 5\cos^2 x=1$$

Krok 3 — wyznaczamy cosinus (ostry → dodatni):

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}$$

Krok 4 — sinus:

$$\sin x=2\cos x=\frac{2\sqrt5}{5}$$

Kontrola: $\frac{4\cdot5}{25}+\frac{5}{25}=\frac{25}{25}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin x=\frac{2\sqrt5}{5}$, $\cos x=\frac{\sqrt5}{5}$.

Krok 1 — zauważamy dopełnienie do $90^\circ$. Kąty $10^\circ$ i $80^\circ$ dopełniają się, a ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin80^\circ=\cos10^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\sin^2 10^\circ+\sin^2 80^\circ=\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ=1$$

Sprytny trik. Nie trzeba znać wartości $\sin10^\circ$ — wystarczyło rozpoznać dopełnienie kątów i zastosować jedynkę.

Odpowiedź: $1$.