Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Podstawiamy współrzędne:

$$|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Warto zapamiętać: to klasyczny trójkąt o bokach $3$, $4$, $5$ — wzór na odległość to po prostu twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.

Odpowiedź: C. $|AB|=5$.

Środek odcinka ma współrzędne będące średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców:

$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Pierwsza współrzędna:

$$\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Druga współrzędna:

$$\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Sprawdzenie: od $A$ do $S$ przesuwamy się o $(5,\,-2)$ i od $S$ do $B$ tak samo. Zgadza się.

Odpowiedź: $S=(2,\,3)$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{7-1}{2-0}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $A$ leży na osi OY, więc od razu odczytujemy $b=1$.

$$y=3x+1$$

Sprawdzenie dla punktu $B$: $3\cdot2+1=7$. Zgadza się.

Odpowiedź: $y=3x+1$.

Warunek prostopadłości prostych o współczynnikach kierunkowych $a_1$ i $a_2$:

$$a_1\cdot a_2=-1$$

Podstawiamy $a_1=2$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Pułapka: nie wystarczy zmienić znak ($-2$) ani samo odwrócić ułamek ($\frac12$) — trzeba zrobić obie rzeczy naraz.

Odpowiedź: B. $a_2=-\frac12$.

Równanie okręgu w postaci kanonicznej to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

gdzie $S=(a,\,b)$ jest środkiem, a $r$ promieniem.

Odczytujemy środek — uwaga na znaki. Mamy $(x-2)$, więc $a=2$. Mamy $(y+3)$, czyli $(y-(-3))$, więc $b=-3$.

Promień: $r^2=25$, zatem $r=5$.

Odpowiedź: $S=(2,\,-3)$, $r=5$.

Symetria względem osi OX zmienia znak drugiej współrzędnej:

$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$

Zatem $P=(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.

Dla porównania: symetria względem osi OY dałaby $(-4,\,-2)$, a symetria względem początku układu $(-4,\,2)$.

Odpowiedź: A. $(4,\,2)$.

Krok 1 — współrzędne wektora. Od końca odejmujemy początek:

$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]=[5-1,\ 4-2]=[4,\,2]$$

Krok 2 — długość wektora:

$$|\vec{AB}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$$

Uwaga na kolejność: gdybyśmy odjęli odwrotnie, dostalibyśmy wektor $\vec{BA}=[-4,\,-2]$ — przeciwny, ale o tej samej długości.

Odpowiedź: $\vec{AB}=[4,\,2]$, $|\vec{AB}|=2\sqrt5$.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Tutaj oba wynoszą $3$.

Wyrazy wolne są różne ($2$ oraz $-7$), więc proste się nie pokrywają.

Sprawdzenie: gdyby miały punkt wspólny, zachodziłoby $3x+2=3x-7$, czyli $2=-7$ — sprzeczność, więc punktu wspólnego nie ma.

Odpowiedź: D.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej $Ax+By+C=0$:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Krok 1 — licznik. Mamy $A=3$, $B=4$, $C=-10$:

$$|3\cdot3+4\cdot4-10|=|9+16-10|=|15|=15$$

Krok 2 — mianownik:

$$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 3 — dzielimy:

$$d=\frac{15}{5}=3$$

Uwaga: prostą trzeba najpierw zapisać w postaci ogólnej (z zerem po prawej stronie), inaczej wzór da zły wynik.

Odpowiedź: $d=3$.

Krok 1 — długości boków:

$$|AB|=\sqrt{4^2+0^2}=4,\qquad |AC|=\sqrt{0^2+3^2}=3$$

$$|BC|=\sqrt{(0-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5$$

Krok 2 — sprawdzamy twierdzenie odwrotne do Pitagorasa:

$$3^2+4^2=9+16=25=5^2$$

Równość zachodzi, więc trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku $A$.

Krok 3 — pole. Przyprostokątne to $|AB|=4$ i $|AC|=3$:

$$P=\frac{4\cdot3}{2}=6$$

Odpowiedź: trójkąt jest prostokątny, jego pole wynosi $6$.

Dla środka w początku układu równanie upraszcza się do:

$$x^2+y^2=r^2$$

Podstawiamy $r=4$, czyli $r^2=16$:

$$x^2+y^2=16$$

Najczęstszy błąd to wpisanie po prawej stronie promienia zamiast jego kwadratu — odpowiedź C opisuje okrąg o promieniu $2$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy. Proste równoległe mają ten sam współczynnik, więc $a=-2$:

$$y=-2x+b$$

Krok 2 — wyznaczamy $b$, podstawiając współrzędne punktu $P$:

$$5=-2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad 5=-2+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

Krok 3 — zapisujemy wynik:

$$y=-2x+7$$

Wniosek: punkt $P$ leżał na danej prostej, więc szukana prosta jest z nią tożsama. Warto to zauważyć — nie jest to błąd rachunkowy.

Odpowiedź: $y=-2x+7$.

Dodawanie wektorów — dodajemy odpowiadające sobie współrzędne:

$$\vec{u}+\vec{v}=[3+2,\ -1+5]=[5,\,4]$$

Mnożenie przez liczbę — mnożymy obie współrzędne:

$$2\vec{u}=[2\cdot3,\ 2\cdot(-1)]=[6,\,-2]$$

Uwaga: wektor $2\vec{u}$ ma ten sam kierunek i zwrot co $\vec{u}$, ale jest dwa razy dłuższy.

Odpowiedź: $\vec{u}+\vec{v}=[5,\,4]$, $2\vec{u}=[6,\,-2]$.

Krok 1 — wymiary prostokąta. Bok $AB$ jest poziomy:

$$|AB|=5-1=4$$

Bok $BC$ jest pionowy:

$$|BC|=4-1=3$$

Krok 2 — przekątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Można też policzyć wprost odległość $|AC|$ ze wzoru na odległość punktów — wynik będzie ten sam.

Odpowiedź: C. $d=5$.

Ze wzoru na środek odcinka układamy dwa równania:

$$\frac{x_A+x_B}{2}=3,\qquad \frac{y_A+y_B}{2}=2$$

Pierwsza współrzędna:

$$\frac{1+x_B}{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 1+x_B=6 \quad\Rightarrow\quad x_B=5$$

Druga współrzędna:

$$\frac{-1+y_B}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad -1+y_B=4 \quad\Rightarrow\quad y_B=5$$

Sprawdzenie: środek odcinka o końcach $(1,\,-1)$ i $(5,\,5)$ to $\left(\frac{1+5}{2},\ \frac{-1+5}{2}\right)=(3,\,2)$. Zgadza się.

Odpowiedź: $B=(5,\,5)$.