$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Odpowiedź: B.

$$a_4=a_1\cdot q^3=2\cdot3^3=2\cdot27=54$$

Odpowiedź: $a_4=54$.

Iloraz to stosunek kolejnych wyrazów:

$$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{5}=3$$

Odpowiedź: $q=3$.

W ciągu geometrycznym $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q=\text{const}$.

Odpowiedź: A.

Każdy kolejny wyraz to poprzedni razy $q=2$:

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\dots$$

Odpowiedź: $6$, $12$, $24$.

W ciągu C iloraz jest stały: $6:2=3$, $18:6=3$, $54:18=3$.

(Ciągi A i B są arytmetyczne.)

Odpowiedź: C. $2,6,18,54$.

$$a_3=a_1\cdot q^2=4\cdot\left(\tfrac12\right)^2=4\cdot\tfrac14=1$$

Odpowiedź: $a_3=1$.

Własność ciągu geometrycznego: kwadrat środkowego wyrazu = iloczyn sąsiadów:

$$b^2=4\cdot9=36 \quad\Rightarrow\quad b=6$$

(bierzemy wartość dodatnią)

Odpowiedź: $b=6$.

$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}$$

Odpowiedź: D.

Wzór na sumę:

$$S_5=1\cdot\frac{1-2^5}{1-2}=\frac{1-32}{-1}=\frac{-31}{-1}=31$$

Sprawdzenie: $1+2+4+8+16=31$ ✔

Odpowiedź: $S_5=31$.

Między $a_2$ a $a_4$ są dwa mnożenia przez $q$:

$$\frac{a_4}{a_2}=q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2=\frac{54}{6}=9 \quad\Rightarrow\quad q=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

$$a_6=1\cdot10^{5}=100\,000$$

Odpowiedź: $a_6=100\,000$.

Własność: $x^2=2\cdot8=16$, więc $x=4$ (dodatni).

Sprawdzenie: $2,4,8$ — iloraz $2$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

$$q=\frac{1/4}{1/2}=\frac12$$

Odpowiedź: A. $\frac12$.

Krok 1 — iloraz. $a_3=a_1 q^2$:

$$27=3q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2=9 \quad\Rightarrow\quad q=3$$

Krok 2 — piąty wyraz:

$$a_5=a_1 q^4=3\cdot3^4=3\cdot81=243$$

Odpowiedź: $q=3$, $a_5=243$.

Dla $q=1$ każdy wyraz równa się poprzedniemu — ciąg stały.

Odpowiedź: C. stały.

Krok 1 — model ciągiem geometrycznym. $a_1=100$ (po $0$ h to stan początkowy), $q=2$. Po $5$ h to $a_1\cdot q^5$:

$$100\cdot2^5=100\cdot32=3200$$

Interpretacja. Wzrost wykładniczy — po każdej godzinie razy $2$.

Odpowiedź: $3200$ bakterii.

Krok 1 — parametry: $a_1=1$, $q=3$, $n=5$.

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S_5=1\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=\frac{1-243}{-2}=\frac{-242}{-2}=121$$

Sprawdzenie: $1+3+9+27+81=121$ ✔

Odpowiedź: $121$.

Krok 1 — procent składany = ciąg geometryczny. Każdego roku kwota rośnie razy $1{,}1$:

$$K_n=K_0\cdot(1{,}1)^n$$

Krok 2 — po $3$ latach:

$$K_3=1000\cdot(1{,}1)^3=1000\cdot1{,}331=1331\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $1331$ zł.

Krok 1 — definicja stałego ilorazu. Skoro to ciąg geometryczny, iloraz kolejnych wyrazów jest równy:

$$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$b\cdot b=a\cdot c \quad\Rightarrow\quad b^2=ac \qquad ∎$$

Wniosek. Środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów: $b=\sqrt{ac}$. To odpowiednik własności „$2b=a+c$” dla ciągu arytmetycznego.

Sprawdzenie dla $2,6,18$: $6^2=36=2\cdot18$ ✔