$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Odpowiedź: B.

$$a_5=a_1+4r=3+4\cdot4=3+16=19$$

Odpowiedź: $a_5=19$.

Różnica to $a_2-a_1$:

$$r=17-20=-3$$

Odpowiedź: $r=-3$ (ciąg malejący).

W ciągu arytmetycznym $a_{n+1}-a_n=r=\text{const}$.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — wzór na $a_{10}$:

$$a_{10}=a_1+9r$$

Krok 2 — podstawiamy i rozwiązujemy:

$$41=5+9r \quad\Rightarrow\quad 9r=36 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Odpowiedź: $r=4$.

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Odpowiedź: C.

Krok 1 — dziesiąty wyraz:

$$a_{10}=2+9\cdot3=29$$

Krok 2 — suma:

$$S_{10}=\frac{2+29}{2}\cdot10=\frac{31}{2}\cdot10=155$$

Odpowiedź: $S_{10}=155$.

Krok 1 — to ciąg arytmetyczny $a_1=1$, $a_{100}=100$, $r=1$.

Krok 2 — suma:

$$S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot100=\frac{101}{2}\cdot100=5050$$

Ciekawostka. Ten sam rachunek wykonał w pamięci młody Gauss, parując liczby $1{+}100=101$, $2{+}99=101$, ... — $50$ par po $101$.

Odpowiedź: $5050$.

W ciągu D różnica jest stała: $10-7=3$, $13-10=3$, $16-13=3$.

(Ciąg A jest geometryczny, C to kwadraty.)

Odpowiedź: D. $7,10,13,16$.

Własność ciągu arytmetycznego: każdy wyraz (poza skrajnymi) jest średnią arytmetyczną sąsiadów:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{8+14}{2}=11$$

Odpowiedź: $a_2=11$.

Między $a_3$ a $a_5$ są dwie różnice:

$$a_5-a_3=2r \quad\Rightarrow\quad 16-10=2r \quad\Rightarrow\quad r=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

$$a_{100}=a_1+99r=1+99\cdot2=1+198=199$$

Odpowiedź: $a_{100}=199$.

Krok 1 — szukamy $n$, dla którego $a_n<0$:

$$100+(n-1)(-7)<0$$

$$100-7(n-1)<0 \quad\Rightarrow\quad 7(n-1)>100 \quad\Rightarrow\quad n-1>14{,}28...$$

Krok 2 — najmniejsze całkowite: $n-1\ge15$, więc $n=16$.

Sprawdzenie: $a_{16}=100-7\cdot15=100-105=-5<0$, a $a_{15}=100-98=2>0$ ✔

Odpowiedź: szesnasty wyraz ($a_{16}=-5$).

$$S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Odpowiedź: A. $\frac{n(n+1)}{2}$.

Krok 1 — układ z dwóch wyrazów:

$$a_4=a_1+3r=13,\qquad a_9=a_1+8r=33$$

Krok 2 — odejmujemy stronami:

$$5r=20 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 3 — wyznaczamy $a_1$:

$$a_1=13-3\cdot4=1$$

Sprawdzenie: $a_9=1+8\cdot4=33$ ✔

Odpowiedź: $a_1=1$, $r=4$.

Środkowy wyraz jest średnią sąsiadów: $8=\frac{x+14}{2}$:

$$16=x+14 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Odpowiedź: C. $2$.

Krok 1 — pierwszy wyraz to $S_1$:

$$a_1=S_1=1^2+2\cdot1=3$$

Krok 2 — $a_2=S_2-S_1$:

$$S_2=2^2+2\cdot2=8,\qquad a_2=8-3=5$$

Uwaga. Ogólnie $a_n=S_n-S_{n-1}$ — to sposób odzyskania wyrazów ciągu z wzoru na sumę.

Odpowiedź: $a_1=3$, $a_2=5$.

Krok 1 — model. Liczby miejsc tworzą ciąg arytmetyczny $a_1=18$, $r=2$.

Krok 2 — ostatni rząd:

$$a_{15}=18+14\cdot2=18+28=46$$

Krok 3 — suma miejsc:

$$S_{15}=\frac{18+46}{2}\cdot15=32\cdot15=480$$

Odpowiedź: $480$ miejsc.

Krok 1 — to ciąg arytmetyczny $10,15,20,\dots,95$, gdzie $a_1=10$, $r=5$, $a_n=95$.

Krok 2 — liczba wyrazów:

$$95=10+(n-1)\cdot5 \quad\Rightarrow\quad 85=5(n-1) \quad\Rightarrow\quad n=18$$

Krok 3 — suma:

$$S_{18}=\frac{10+95}{2}\cdot18=\frac{105}{2}\cdot18=945$$

Odpowiedź: $945$.

Krok 1 — definicja stałej różnicy. Skoro to ciąg arytmetyczny, różnice kolejnych wyrazów są równe:

$$b-a=c-b$$

Krok 2 — przenosimy wyrazy. Dodajemy $b$ i $a$ do obu stron:

$$b+b=c+a$$

$$2b=a+c \qquad ∎$$

Wniosek. Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów: $b=\frac{a+c}{2}$. To najczęściej używana własność ciągu arytmetycznego.

Sprawdzenie dla $2,5,8$: $2\cdot5=10=2+8$ ✔