Sinus to stosunek boku naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź A to cosinus tego kąta, a C to tangens.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Krok 2 — tangens:

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac45$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac34$.

Jedynka trygonometryczna zachodzi dla każdego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Odpowiedź: C. Nie trzeba znać wartości $\sin 37^\circ$ — to zadanie sprawdza znajomość tożsamości.

Przyprostokątna naprzeciw kąta $30^\circ$:

$$a=10\cdot\sin30^\circ=10\cdot\frac12=5$$

Druga przyprostokątna:

$$b=10\cdot\cos30^\circ=10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$$

Odpowiedź: $5$ oraz $5\sqrt3\approx8{,}66$.

Sprawdzenie Pitagorasem: $25+75=100=10^2$. ✔

$$\cos60^\circ=\frac12,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$

Odpowiedź: A. Częsty błąd to zamiana wartości sinusa i cosinusa dla $30^\circ$ i $60^\circ$. Zapamiętaj: $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\frac12$.

$$P=\frac12ab\sin\gamma$$

$$P=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\frac12=15$$

Odpowiedź: $P=15$.

Uwaga: kąt musi leżeć między podanymi bokami — użycie innego kąta daje błędny wynik.

Stosujemy twierdzenie cosinusów:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

$$c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49$$

$$c=7$$

Odpowiedź: $c=7$.

Przekształcamy twierdzenie cosinusów względem kąta:

$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

$$\cos\alpha=\frac{25+9-49}{2\cdot5\cdot3}=\frac{-15}{30}=-\frac12$$

Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty. Konkretnie $\alpha=120^\circ$.

Odpowiedź: $\cos\alpha=-\frac12$, trójkąt jest rozwartokątny.

Twierdzenie sinusów:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$

$$\frac{10}{\frac12}=\frac{b}{\frac{\sqrt2}{2}} \quad\Rightarrow\quad 20=\frac{2b}{\sqrt2}$$

$$b=10\sqrt2\approx14{,}14$$

Odpowiedź: $b=10\sqrt2$.

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Odpowiedź: D.

$$2R=\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{12}{\frac12}=24$$

$$R=12$$

Odpowiedź: $R=12$.

Częsty błąd: zapomnienie o podzieleniu przez $2$ i podanie $R=24$.

Krok 1 — połowa obwodu:

$$s=\frac{3+4+5}{2}=6$$

Krok 2 — wzór Herona:

$$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=\sqrt{36}=6$$

Odpowiedź: $P=6$.

Sprawdzenie: to trójkąt prostokątny, więc $P=\frac12\cdot3\cdot4=6$. ✔

Kąt rozwarty leży w II ćwiartce ($90^\circ<\alpha<180^\circ$). Tam sinus pozostaje dodatni, a cosinus staje się ujemny.

Odpowiedź: B. Przykład: $\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}>0$, $\cos120^\circ=-\frac12<0$.

Drzewo, ziemia i linia wzroku tworzą trójkąt prostokątny. Szukana wysokość leży naprzeciw kąta $35^\circ$, a znana odległość — przy nim, więc używamy tangensa:

$$\operatorname{tg}35^\circ=\frac{h}{20}$$

$$h=20\cdot0{,}70=14\ \text{m}$$

Odpowiedź: drzewo ma około $14$ m wysokości.

Metoda trygonometryczna. Kąt trójkąta równobocznego to $60^\circ$:

$$P=\frac12\cdot8\cdot8\cdot\sin60^\circ=32\cdot\frac{\sqrt3}{2}=16\sqrt3$$

Odpowiedź: $P=16\sqrt3\approx27{,}71$.

Sprawdzenie wzorem: $P=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{64\sqrt3}{4}=16\sqrt3$. ✔

$$\operatorname{tg}45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1$$

Odpowiedź: A. Dla $90^\circ$ tangens w ogóle nie istnieje (cosinus wynosi zero).

Pole równoległoboku obliczamy analogicznie do pola trójkąta, ale bez czynnika $\frac12$ (równoległobok to dwa przystające trójkąty):

$$P=ab\sin\alpha$$

Wartość sinusa ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\frac12$$

$$P=6\cdot9\cdot\frac12=27$$

Odpowiedź: $P=27$.

Romb to równoległobok o równych bokach, więc:

$$P=a^2\sin\alpha$$

$$P=10^2\cdot\sin60^\circ=100\cdot\frac{\sqrt3}{2}=50\sqrt3$$

Odpowiedź: $P=50\sqrt3\approx86{,}6$.

Uwaga: gdyby wziąć kąt rozwarty $120^\circ$, wynik byłby ten sam, bo $\sin120^\circ=\sin60^\circ$ — pole nie zależy od tego, który kąt wybierzemy.

Metoda 1 — przez wysokość. Wysokość dzieli podstawę na połowy po $5$:

$$\cos\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}}=\frac{5}{13}$$

Metoda 2 — twierdzenie cosinusów dla boku $13$ naprzeciw kąta przy wierzchołku... wygodniej jednak liczyć wprost z trójkąta prostokątnego jak wyżej.

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac{5}{13}$.

Krok 1 — bok $a$ z twierdzenia cosinusów:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha=64+36-2\cdot8\cdot6\cdot\frac12$$

$$a^2=100-48=52 \quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac12bc\sin\alpha=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3$$

Odpowiedź: $a=2\sqrt{13}\approx7{,}21$, $P=12\sqrt3\approx20{,}78$.