Miejsca zerowe: $x=2$ i $x=-3$.

Znak: parabola o ramionach w górę jest ujemna między miejscami zerowymi.

$$x\in(-3,\,2)$$

Nawiasy otwarte, bo nierówność jest ostra.

Odpowiedź: B. $x\in(-3,\,2)$.

Miejsca zerowe: $x=0$ i $x=5$.

Znak: ramiona w górę, więc wyrażenie jest dodatnie na zewnątrz miejsc zerowych.

$$x\in(-\infty,\,0\rangle\cup\langle5,+\infty)$$

Nawiasy domknięte, bo nierówność jest nieostra ($\ge$).

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,0\rangle\cup\langle5,+\infty)$.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-4\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq4$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Odpowiedź: $x\in\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x=0,\qquad x=1,\qquad x=-6$$

Trzy różne pierwiastki.

Odpowiedź: C. $3$.

Krok 1 — wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(x^2-9)$$

Krok 2 — różnica kwadratów:

$$x(x-3)(x+3)$$

Odpowiedź: $W(x)=x(x-3)(x+3)$.

Ułamek o liczniku $1$ jest dodatni dokładnie wtedy, gdy mianownik jest dodatni:

$$x>0$$

Odpowiedź: A. $x\in(0,+\infty)$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyróżnik:

$$\Delta=16-12=4,\qquad \sqrt\Delta=2$$

$$x_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad x_2=\frac{4+2}{2}=3$$

Krok 2 — znak. Ramiona w górę, szukamy wartości dodatnich, czyli poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,\,1)\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,1)\cup(3,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — zamiana na iloczyn. Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika:

$$(x-2)(x+1)>0$$

Krok 3 — miejsca zerowe: $x=2$ i $x=-1$; szukamy wartości dodatnich, czyli na zewnątrz:

$$x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$$

Sprawdzenie dla $x=3$: $\frac{1}{4}>0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$.

Mianownik zeruje się, gdy:

$$x^2-9=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{lub}\ x=-3$$

Częsty błąd: pominięcie pierwiastka ujemnego.

Odpowiedź: D. $x=3$ oraz $x=-3$.

Krok 1 — pierwiastki: $1$, $2$, $3$ — wszystkie jednokrotne.

Krok 2 — wykres. Stopień $3$, współczynnik dodatni, więc od prawej krzywa idzie w górę. Znaki od prawej: $+$, $-$, $+$, $-$.

Krok 3 — przedziały ujemne:

$$x\in(-\infty,\,1)\cup(2,\,3)$$

Sprawdzenie dla $x=0$: $(-1)(-2)(-3)=-6<0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,1)\cup(2,\,3)$.

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-16\le0 \quad\Rightarrow\quad (x-4)(x+4)\le0$$

Ramiona w górę, wartości niedodatnie są między pierwiastkami:

$$x\in\langle-4,\,4\rangle$$

Częsty błąd: zapis „$x\le4$” pomija ograniczenie od dołu.

Odpowiedź: B. $x\in\langle-4,\,4\rangle$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$.

Krok 2 — analiza znaku. Licznik $3$ jest stale dodatni, więc ułamek jest ujemny dokładnie wtedy, gdy mianownik jest ujemny:

$$x-2<0 \quad\Rightarrow\quad x<2$$

Krok 3 — czy zachodzi równość? Ułamek nigdy nie jest zerem (licznik $\neq0$), więc znak $\le$ nie dokłada żadnego punktu.

$$x\in(-\infty,\,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,2)$.

Krok 1 — przenosimy na jedną stronę (nie wolno dzielić przez $x$, bo nie znamy jego znaku):

$$x^3-4x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)(x+2)\ge0$$

Krok 2 — pierwiastki: $-2$, $0$, $2$. Stopień $3$, współczynnik dodatni, znaki od prawej: $+$, $-$, $+$, $-$.

Krok 3 — przedziały:

$$x\in\langle-2,\,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$

Sprawdzenie dla $x=-1$: $-1\ge-4$ ✔

Odpowiedź: $x\in\langle-2,\,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$.

W pierwiastku dwukrotnym ($x=1$) wykres tylko dotyka osi i wraca — znak się nie zmienia.

W pierwiastku jednokrotnym ($x=-4$) wykres przechodzi przez oś — znak się zmienia.

Reguła: krotność parzysta — bez zmiany znaku, nieparzysta — ze zmianą.

Odpowiedź: C. tylko $x=-4$.

Krok 1 — wyłączamy $x$:

$$x(x^2-5x+6)=0$$

Krok 2 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o sumie $5$ i iloczynie $6$: to $2$ i $3$:

$$x(x-2)(x-3)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=0,\qquad x=2,\qquad x=3$$

Odpowiedź: $x\in\{0,\,2,\,3\}$.

Dziedzina: $x\neq3$.

Znak — jak dla iloczynu $x(x-3)\ge0$, czyli poza pierwiastkami $0$ i $3$.

Domknięcia są różne po obu stronach: $x=0$ należy (ułamek jest wtedy zerem), ale $x=3$ nie należy (wypada z dziedziny):

$$x\in(-\infty,\,0\rangle\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: A. $x\in(-\infty,\,0\rangle\cup(3,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — przenosimy wszystko na lewą stronę (mnożenie na krzyż jest zabronione, bo nie znamy znaku mianownika):

$$\frac{x+2}{x-1}-1\ge0$$

$$\frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0$$

Krok 3 — analiza. Licznik $3$ jest dodatni, więc wystarczy $x-1>0$:

$$x>1$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $\frac{4}{1}=4\ge1$ ✔

Odpowiedź: $x\in(1,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — rozkładamy licznik:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}\le0$$

Krok 3 — punkty krytyczne: $-2$, $-1$, $2$. Badamy znak w każdym przedziale, podstawiając wygodną liczbę:

• $x=-3$: $\frac{(-5)(-1)}{-2}=-2{,}5<0$ ✔
• $x=-1{,}5