Rozpisujemy definicję kwadratu:

$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$

Najczęstszy błąd to odpowiedź A — pominięcie środkowego wyrazu $2ab$. Kwadrat sumy to nie suma kwadratów.

Odpowiedź: B. $a^2+2ab+b^2$.

Stosujemy wzór na kwadrat sumy:

$$(x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=x^2+6x+9$$

Odpowiedź: $x^2+6x+9$.

Kwadrat różnicy — uwaga na potęgowanie całego jednomianu $2x$:

$$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+25=4x^2-20x+25$$

Pułapka: $(2x)^2=4x^2$, a nie $2x^2$ — podnosimy do kwadratu także współczynnik.

Odpowiedź: $4x^2-20x+25$.

To wzór na różnicę kwadratów:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

$$(x-4)(x+4)=x^2-16$$

Dlaczego znika wyraz środkowy: $-4x$ i $+4x$ się redukują.

Odpowiedź: A. $x^2-16$.

Rozpoznajemy różnicę kwadratów, bo $49=7^2$:

$$x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)$$

Odpowiedź: $(x-7)(x+7)$.

Krok 1 — rozpoznajemy wzór. Wyraz wolny $25=5^2$, a środkowy to $-2\cdot x\cdot5$.

Krok 2 — zwijamy:

$$x^2-10x+25=(x-5)^2$$

Sprawdzenie: $(x-5)^2=x^2-10x+25$ ✔

Odpowiedź: C. $(x-5)^2$.

Krok 1 — rozbijamy na wygodne składniki:

$$102=100+2$$

Krok 2 — stosujemy kwadrat sumy:

$$102^2=100^2+2\cdot100\cdot2+2^2=10\,000+400+4=10\,404$$

Po co to robić. Wzory skróconego mnożenia zamieniają jedno trudne mnożenie na trzy łatwe dodawania — to ich praktyczne zastosowanie.

Odpowiedź: $10\,404$.

Krok 1 — zauważamy symetrię wokół $100$:

$$97=100-3,\qquad 103=100+3$$

Krok 2 — różnica kwadratów:

$$(100-3)(100+3)=100^2-3^2=10\,000-9=9991$$

Odpowiedź: $9991$.

Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Krok 2 — odejmujemy:

$$\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)=-4ab$$

Uwaga na znak: odejmujemy cały nawias, więc każdy jego wyraz zmienia znak.

Odpowiedź: D. $-4ab$.

Krok 1 — zapisujemy oba składniki jako kwadraty:

$$4x^2=(2x)^2,\qquad 9y^2=(3y)^2$$

Krok 2 — stosujemy różnicę kwadratów:

$$4x^2-9y^2=(2x-3y)(2x+3y)$$

Odpowiedź: $(2x-3y)(2x+3y)$.

Krok 1 — szukamy największego wspólnego czynnika. Liczbowo NWD$(6,9)=3$, literowo wspólne jest $x$.

Krok 2 — wyłączamy $3x$:

$$6x^2+9x=3x(2x+3)$$

Dlaczego nie A ani C. Oba są poprawnymi przekształceniami, ale niepełnymi — w nawiasie wciąż da się coś wyłączyć. Szukamy rozkładu do końca.

Odpowiedź: B. $3x(2x+3)$.

Krok 1 — mnożymy każdy wyraz przez każdy:

$$x\cdot x^2-x\cdot3x+x\cdot1+2x^2-6x+2$$

$$=x^3-3x^2+x+2x^2-6x+2$$

Krok 2 — redukujemy wyrazy podobne:

$$x^3+(-3+2)x^2+(1-6)x+2=x^3-x^2-5x+2$$

Kontrola dla $x=1$: lewa strona $3\cdot(-1)=-3$, prawa $1-1-5+2=-3$ ✔

Odpowiedź: $x^3-x^2-5x+2$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $x$:

$$x^3-4x=x\left(x^2-4\right)$$

Krok 2 — w nawiasie rozpoznajemy różnicę kwadratów:

$$x\left(x^2-2^2\right)=x(x-2)(x+2)$$

Kolejność ma znaczenie. Najpierw wyłączamy wspólny czynnik, dopiero potem szukamy wzorów — inaczej łatwo przeoczyć pełny rozkład.

Odpowiedź: $x(x-2)(x+2)$.

Rozwijamy kwadrat sumy i odejmujemy:

$$\left(a^2+2ab+b^2\right)-a^2-b^2=2ab$$

Wniosek praktyczny: to właśnie o ten podwojony iloczyn kwadrat sumy różni się od sumy kwadratów.

Odpowiedź: A. $2ab$.

Stosujemy wzór na sześcian sumy:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

$$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$$

Skąd współczynniki $1,3,3,1$: to kolejny wiersz trójkąta Pascala.

Odpowiedź: $x^3+3x^2+3x+1$.

Krok 1 — zwijamy do kwadratu sumy:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$

Krok 2 — kwadrat jest zerem tylko wtedy, gdy podstawa jest zerem:

$$x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

Warto zauważyć. Dla każdego innego $x$ wyrażenie jest dodatnie — kwadrat nigdy nie jest ujemny.

Odpowiedź: C. $x=-3$.

Sposób 1 — rozwijamy oba kwadraty:

$$\left(x^2+6x+9\right)-\left(x^2-6x+9\right)=12x$$

Sposób 2 — traktujemy całość jako różnicę kwadratów:

$$\bigl[(x+3)-(x-3)\bigr]\cdot\bigl[(x+3)+(x-3)\bigr]=6\cdot2x=12x$$

Wartość dla $x=7$:

$$12\cdot7=84$$

Sprawdzenie wprost: $10^2-4^2=100-16=84$ ✔

Odpowiedź: wyrażenie równa się $12x$, a dla $x=7$ wynosi $84$.

Krok 1 — wspólny czynnik liczbowy i literowy:

$$2x^3-18x=2x\left(x^2-9\right)$$

Krok 2 — różnica kwadratów w nawiasie:

$$2x\left(x^2-3^2\right)=2x(x-3)(x+3)$$

Krok 3 — sprawdzenie przez wymnożenie:

$$2x\left(x^2-9\right)=2x^3-18x \ ✔$$

Kontrola liczbowa dla $x=2$: lewa strona $16-36=-20$, prawa $4\cdot(-1)\cdot5=-20$ ✔

Odpowiedź: $2x(x-3)(x+3)$.

Krok 1 — punkt wyjścia. Nie znamy $a$ ani $b$ osobno, więc korzystamy ze wzoru:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Krok 2 — przekształcamy wzór:

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$a^2+b^2=7^2-2\cdot10=49-20=29$$

Sprawdzenie. Liczby o sumie $7$ i iloczynie $10$ to $2$ i $5$, a $4+25=29$ ✔

Odpowiedź: $a^2+b^2=29$.

Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Chcemy zobaczyć $x^2-6x$ jako początek kwadratu różnicy, a $(x-3)^2=x^2-6x+9$:

$$x^2-6x+11=\left(x^2-6x+9\right)+2$$

Krok 2 — zwijamy:

$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$

Krok 3 — szacujemy. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny:

$$(x-3)^2\ge0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)^2+2\ge2>0 \qquad ∎$$

Dodatkowo. Wartość najmniejsza wynosi $2$ i jest osiągana dla $x=3$ — dowód dał nam więcej, niż wymagało polecenie.

Sprawdzenie: dla $x=3$ mamy $9-18+11=2$ ✔, a dla $x=0$ wychodzi $11>0$ ✔