Liczby dwucyfrowe mniejsze od \(40\) to liczby od \(10\) do \(39\) włącznie. Wypiszmy teraz, które z tych liczb będą podzielne przez \(3\):
$$12,15,18,21,24,27,30,33,36,39$$

Z podanych liczb interesują nas tylko te, których suma cyfr jest większa od \(7\), czyli będą to liczby:
$$18,27,36,39$$

Łącznie są to więc \(4\) liczby.

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena wycieczki przed obniżką
\(x-0,2x=0,8x\) - cena wycieczki po obniżce o \(20\%\)

Skoro po obniżce koszt wycieczki wyniósł \(1500 zł\), to:
$$0,8x=1500zł \           ,\
x=1875zł$$

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$3^5\cdot9^6=3^5\cdot(3^2)^6=3^5\cdot3^{2\cdot6}=3^5\cdot3^{12}=3^{5+12}=3^{17}$$

Nasze zadanie polega na przekształceniu podanego wzoru. Zaczynając od obustronnego odjęcia \(P_{b}\), otrzymamy:
$$P_{c}=2P_{p}+P_{b} \           ,\
P_{c}-P_{b}=2P_{p} \           ,\
P_{p}=\frac{P_{c}-P_{b}}{2}$$

Aby podane wielokąty mogły być bokami ostrosłupa, to podstawy trójkątów musiałyby być takie same jak boki prostokąta (i ten warunek jest akurat spełniony), a dodatkowo długości ramion tych trójkątów musiałyby mieć pary boków o jednakowej długości (i ten warunek nie został spełniony, przez co siatka graniastosłupa nam się nie domknie). To oznacza, że prawidłową odpowiedzią będzie "Nie, ponieważ ramiona trójkąta \(T_{1}\) mają inną długość niż ramiona trójkąta \(T_{2}\)".

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Romb na cztery boki równej długości, zatem skoro jego obwód jest równy \(24 cm\), to każdy bok ma:
$$a=24cm:4 \           ,\
a=6cm$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i w połowie swojej długości, otrzymamy taką oto sytuację:


Można więc powiedzieć, że po dorysowaniu krótszej przekątnej powstały nam na rysunku dwa trójkąty równoboczne.

Krok 3. Obliczenie długości dłuższej przekątnej.
Z rysunku wynika, że do obliczenia długości dłuższej przekątnej przyda nam się wyznaczenie wysokości trójkąta równobocznego, który nam powstał. Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, możemy zapisać, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\
h=\frac{6\sqrt{3}cm}{2} \           ,\
h=3\sqrt{3}cm$$

Dłuższa przekątna będzie dwa razy dłuższa od wysokości takiego trójkąta (co widać na rysunku), czyli będzie miała ona długość:
$$2\cdot3\sqrt{3}cm=6\sqrt{3}cm$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\) oraz \(y\).
Leżące naprzeciw siebie długości boków prostokąta mają jednakowe miary. To pozwoli nam ułożyć dwa następujące równania, z których obliczymy wartości \(x\) oraz \(y\).

Pierwsza para boków:
$$x=27-2x \           ,\
3x=27 \           ,\
x=9$$

Druga para boków:
$$y=2y-3 \           ,\
-y=-3 \           ,\
y=3$$

Krok 2. Sprawdzenie, które z podanych równań jest niepoprawne.
Musimy sprawdzić, które z podanych równań jest niepoprawne. W tym celu najłatwiej będzie podstawić wyznaczone \(x=9\) oraz \(y=3\) do działań znajdujących się po lewej stronie równań i sprawdzić, czy otrzymany wynik jest identyczny jak w podanym równaniu. W związku z tym:

Odp. A.
$$x-y=9-3=6$$

Czyli tutaj opisana zależność \(x-y=6\) jest prawidłowa.

Odp. B.
$$x+y=9+3=12$$

Czyli tutaj opisana zależność \(x+y=12\) jest prawidłowa.

Odp. C.
$$x\cdot y=9\cdot3=27$$

Czyli tutaj opisana zależność \(x\cdot y=27\) jest prawidłowa.

Odp. D.
$$y:x=3:9=\frac{1}{3}$$

Czyli tutaj opisana zależność \(y:x=3\) jest niepoprawna i to właśnie będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Podstawiając \(a=-3\) do podanego wyrażenia, otrzymamy:
$$2-2\cdot(-3)^2=2-2\cdot9=2-18=-16$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
W nawiasie mamy odejmowanie, więc ułamek \(\frac{1}{2}\) musimy wymnożyć przez jeden i drugi jednomian z nawiasu, czyli:
$$\frac{1}{2}(2-2a^2)=1-a^2$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
\(x\) - liczba banknotów \(20zł\) i jednocześnie liczba banknotów \(50zł\)

To oznacza, że:
\(20\cdot x\) - kwota w banknotach \(20zł\)
\(50\cdot x\) - kwota w banknotach \(50zł\)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że kwota wyrażona za pomocą banknotów \(50\)-złotowych jest o \(6\) tysięcy większa od wartości banknotów \(20\)-złotowych, zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$20x+6000=50x \           ,\
6000=30x \           ,\
x=200$$

To oznacza, że w kasie jest \(200\) banknotów \(20\)-złotowych.