Korzystając z działań na ułamkach możemy zapisać, że wartość tego wyrażenia jest równa:
$$\frac{4^2}{5}-3^2=\frac{16}{5}-9=\frac{16}{5}-\frac{45}{5}=-\frac{29}{5}$$

Krok 1. Ustalenie, jaka liczba jest najmniejsza, a jaka największa.
Aby nasza liczba trzycyfrowa była jak najmniejsza, cyfra setek powinna być równa \(1\), a cyfra dziesiątek równa \(0\). Skoro suma wszystkich cyfr ma być równa \(6\), to cyfra jedności musi być równa \(5\). To oznacza, że najmniejszą liczbą będzie \(105\).

A jaka jest największa liczba? Maksymalną cyfrą setek będzie \(6\), a w takim razie cyfra dziesiątek i jedności będzie równa \(0\). Czyli największą liczbą będzie \(600\).

Krok 2. Obliczenie sumy liczb.
Celem zadania jest zsumowanie tych dwóch liczb, zatem:
$$105+600=705$$

Krok 1. Obliczenie sumy liczb.
Suma dwóch podanych liczb jest równa:
$$323+160=483$$

Krok 2. Ustalenie, czy liczba jest podzielna przez \(3\).
Aby liczba była podzielna przez \(3\), suma jej cyfr musi dawać liczbę podzielną przez \(3\). W naszym przypadku suma cyfr będzie równa:
$$4+8+3=15$$

Liczba \(15\) jest jak najbardziej podzielna przez \(3\), zatem cała liczba \(483\) będzie podzielna przez \(3\). Prawidłowa odpowiedź brzmi więc: Tak, ponieważ suma cyfr \(3\), \(4\) i \(8\) jest liczbą podzielną przez \(3\).

Sprawdźmy po kolei wartość każdej z liczb, korzystając z działań na potęgach:
$$x=\frac{10^{30}\cdot10^{70}}{10} \           ,\
x=\frac{10^{30+70}}{10} \           ,\
x=\frac{10^{100}}{10} \           ,\
x=10^{100}:10^1 \           ,\
x=10^{100-1} \           ,\
x=10^{99}$$

$$y=(10^3)^{15}\cdot10^{60} \           ,\
y=(10^{3\cdot15})\cdot10^{60} \           ,\
y=10^{45}\cdot10^{60} \           ,\
y=10^{45+60} \           ,\
y=10^{105}$$

$$z=10^{50}\cdot\frac{10^{80}}{10^{20}} \           ,\
z=10^{50}\cdot10^{80-20} \           ,\
z=10^{50}\cdot10^{60} \           ,\
z=10^{50+60} \           ,\
z=10^{110}$$

Mniejszą liczbą od \(10^{100}\) jest więc tylko \(x\).

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Wiemy, że z materiału na \(90\) bluzek w rozmiarze S da się uszyć \(60\) bluzek w rozmiarze L. Skoro tak, to liczba bluzek rozmiaru L uszyta z materiału z \(240\) bluzek rozmiaru S będzie równa:
$$\frac{240}{90}\cdot60=\frac{240}{3}\cdot2=80\cdot2=160$$

Ewentualnie do tematu można podejść jeszcze inaczej, korzystając z proporcji:
Skoro na \(90\) bluzek S przypada \(60\) bluzek L
To na \(3\) bluzki S przypadają \(2\) bluzki L
Więc na \(240\) bluzek S przypada \(160\) bluzek L

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Już w poprzednim kroku (w zapisie proporcji) wyszło nam, że na \(3\) bluzki S przypadają \(2\) bluzki L. To oznacza, że na uszycie dwóch bluzek w rozmiarze L potrzeba tyle samo materiału co na trzy bluzki S.

Obliczmy wartość tego wyrażenia dla każdej z proponowanych liczb:

Dla \(n=-3\):
$$\frac{(-3)^4-3}{6}=\frac{81-3}{6}=\frac{78}{6}=13$$

Dla \(n=-1\):
$$\frac{(-1)^4-3}{6}=\frac{1-3}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$$

Dla \(n=0\):
$$\frac{0^4-3}{6}=\frac{0-3}{6}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$$

Dla \(n=-1\):
$$\frac{1^4-3}{6}=\frac{1-3}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$$

Dla \(n=3\):
$$\frac{3^4-3}{6}=\frac{81-3}{6}=\frac{78}{6}=13$$

Najmniejszą wartość otrzymaliśmy dla liczby \(0\).

Powinniśmy dostrzec, że \(\sqrt{49}=7\), natomiast \(\sqrt{64}=8\). Liczba \(\sqrt{60}\) jest pomiędzy tymi wartościami, zatem jest ona większa od \(7\) i mniejsza od \(8\).

Krok 1. Ustalenie skali osi liczbowej.
Między wartością \(P\) oraz \(R\) mamy \(5\) części. Różnica tych dwóch jest równa \(7-(-3)=10\). To prowadzi nas do wniosku, że skala tej osi liczbowej wynosi \(2\) jednostki.

Krok 2. Obliczenie współrzędnej punktu \(S\).
Punkt \(S\) jest oddalony o 3 części od punktu \(R\), a skoro tak, to jego wartość będzie równa:
$$7+3\cdot2=7+6=13$$

Krok 1. Obliczenie rozmiaru pliku Lidki.
Skoro plik Igora ma rozmiar\(13 MB\), a plik Lidki jest \(2,5\) razy większy, to plik Lidki będzie miał
$$2,5\cdot13MB=32,5MB$$

Krok 2. Obliczenie różnicy rozmiarów.
Musimy ustalić, o ile plik Lidki jest większy od pliku Igora, zatem:
$$32,5MB-13MB=19,5MB

Rozpiszmy to po kolei:
\(x\) - liczba zakupionej ziemi

W maju ogrodnik użył \(\frac{1}{3}\) zakupionej ziemi, czyli:
\(\frac{1}{3}x\) - tyle ziemi zużyto w maju
\(x-\frac{1}{3}x\) - tyle ziemi pozostało przed czerwcem

W czerwcu ogrodnik użył \(\frac{1}{2}\) tego co zostało, czyli:
\(\frac{1}{2}\cdot(x-\frac{1}{3}x)\) - tyle ziemi zużyto w czerwcu

Skoro zostało mu \(60kg\) ziemi, to prawdziwym równaniem będzie:
$$x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{3}x\right)=60$$

Ewentualnie można do tego podejść jeszcze inaczej:
\(x\) - liczba zakupionej ziemi
\(\frac{1}{3}x\) - tyle ziemi zużyto w maju
\(\frac{1}{2}\cdot(x-\frac{1}{3}x)\) - tyle ziemi zużyto w czerwcu
\(60\) - tyle do zużycia mamy na lipiec

Suma wszystkich zużyć musi dać \(x\), więc:
$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\cdot\left(x-\frac{1}{3}x\right)+60=x$$

Teraz chcąc się dopasować do odpowiedzi (czyli chcąc mieć \(60\) po prawej stronie), możemy cały zapis przekształcić do postaci:
$$60=x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}\cdot\left(x-\frac{1}{3}x\right) \           ,\
\left(x-\frac{1}{3}x\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(x-\frac{1}{3}x\right)=60$$

Krok 1. Obliczenie cen biletów.
Skoro Martyna za \(6\) biletów \(75\)-minutowych zapłaciła \(24zł\), to każdy bilet kosztował:
$$24zł:6=4zł$$

Skoro Weronika za \(4\) bilety \(20\)-minutowe zapłaciła \(12zł\), to każdy bilet kosztował:
$$12zł:4=3zł$$

Krok 2. Obliczenie wysokości wydatków Ani.
Ania kupiła \(2\) bilety \(75\)-minutowe i \(2\) bilety \(20\)-minutowe, zatem zapłaciła za nie:
$$2\cdot4zł+2\cdot3zł=8zł+6zł=14zł$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CAD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ADC\). Znamy dwie miary kątów w tym trójkącie, a skoro suma miar kątów w trójkątach jest równa \(180°\), to:
$$|\sphericalangle CAD|=180°-130°-35°=15°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ADC\).
Kąt \(ADB\) jest kątem przyległym do kąta \(ADC\), a skoro suma miar kątów przyległych wynosi \(180°\), to:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-130°=50°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(DAB\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Z treści zadania wynika, że jest to trójkąt równoramienny i wiemy już, że kąt między ramionami ma miarę \(50°\). Skoro tak, to na dwa kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-50°=130°\). W trójkątach równoramiennych kąty przy podstawie mają jednakową miarę, a to oznacza, że:
$$|\sphericalangle DAB|=130°:2=65°$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(CAB\).
Kąt \(CAB\) jest sumą kątów \(CAD\) oraz \(DAB\), zatem:
$$|\sphericalangle CAB|=15°+65°=80°$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(6\) - tyle było kulek zielonych (przed dołożeniem)
\(x\) - tyle dołożono kulek zielonych
\(6+x\) - tyle mamy kulek zielonych

\(8\) - tyle mamy kulek niebieskich

\(6+x+8=14+x\) - tyle mamy wszystkich kulek

Krok 2. Obliczenie liczby dołożonych kulek.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej wynosi \(\frac{1}{4}\). Mamy \(8\) kulek niebieskich, a wszystkich kulek jest \(14+x\), zatem:
$$\frac{8}{14+x}=\frac{1}{4}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$14+x=32 \           ,\
x=18$$

Zgodnie z oznaczeniami \(x\) to liczba dołożonych kulek, zatem widzimy, że dołożono \(18\) kulek.