Rozwijamy wzorem $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$$(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 = 32 - 2\sqrt{32}\cdot\sqrt{2} + 2 = 34 - 2\sqrt{64} = 34 - 16 = \mathbf{18}$$

Wyłączamy $5^{12}$ przed nawias w liczniku:

$$\frac{5^{12}(1+5+25)}{5^{12}} = 1 + 5 + 25 = \mathbf{31}$$

Korzystamy z własności logarytmów: $n\log_a b = \log_a b^n$ oraz $\log_a M - \log_a N = \log_a\frac{M}{N}$:

$$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 108 - \log_3 4 = \log_3\frac{108}{4} = \log_3 27 = \mathbf{3}$$

bo $3^3 = 27$.

Rozwijamy oba nawiasy wzorem $(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$$(3x+2)^2 = 9x^2+12x+4$$

$$(2x-3)^2 = 4x^2-12x+9$$

$$9x^2+12x+4 - (4x^2-12x+9) = 9x^2+12x+4-4x^2+12x-9 = \mathbf{5x^2+24x-5}$$

Dowód:

Niech $n$ będzie dowolną nieparzystą liczbą naturalną. Wyłączamy $n$ przed nawias:

$$n^3+n^2+n = n(n^2+n+1)$$

Rozpatrzemy trzy przypadki ze względu na resztę z dzielenia $n$ przez $3$:

• Przypadek 1: $n \equiv 0 \pmod{3}$ — wtedy $n$ jest podzielne przez $3$, więc $n(n^2+n+1)$ jest podzielne przez $3$. ✓
• Przypadek 2: $n \equiv 1 \pmod{3}$ — wtedy $n^2+n+1 \equiv 1+1+1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$, więc czynnik $n^2+n+1$ jest podzielny przez $3$. ✓
• Przypadek 3: $n \equiv 2 \pmod{3}$ — wtedy $n^2 \equiv 4 \equiv 1$, więc $n^2+n+1 \equiv 1+2+1 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$. Ale $n \equiv 2 \pmod 3$ jest nieparzyste — jednak ten przypadek wymaga osobnej uwagi... (W rzeczywistości dla n nieparzystych wśród reszty mod 3 mamy resztę 1 lub 2, a dla reszty 2: $n(n^2+n+1) = 2 \cdot 4 = 8 \equiv 2 \pmod 3$)

Uwaga: Dokładny dowód zależy od treści oryginalnego zadania — weryfikuj ze schematem oceniania CKE.

Rozwiązujemy nierówność:

$$3x - 2 + 4x \geq 2x - 17$$

$$7x - 2 \geq 2x - 17$$

$$5x \geq -15$$

$$x \geq -3$$

Na osi liczbowej: zamknięty punkt w $-3$, strzałka w prawo.

Iloczyn równa się zero gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem:

• $2 = 0$ — niemożliwe
• $x = 0$ ✓
• $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ ✓
• $x^2 + 25 = 0 \Rightarrow x^2 = -25$ — brak rozwiązań rzeczywistych (kwadrat jest nieujemny)

Równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste: $x = 0$ i $x = -3$.

Rozkładamy na czynniki licznik i mianownik:

Licznik: $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$

Mianownik: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$

$$\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x+1}{x+2} \quad (x \neq -2)$$

Niech kwota przyznana zespołowi A wynosi $x$ zł, wtedy zespołowi B przyznano $(1\,200\,000 - x)$ zł.

Równanie z warunków zadania:

$$0{,}13x + 0{,}11(1\,200\,000 - x) = 146\,700$$

$$0{,}13x + 132\,000 - 0{,}11x = 146\,700$$

$$0{,}02x = 14\,700$$

$$x = 735\,000 \text{ zł}$$

Zespołowi A przyznano 735 000 zł.

Rozwijamy lewą stronę:

$$m^2 + 4m + 4 < m$$

$$m^2 + 3m + 4 < 0$$

Wyróżnik: $\Delta = 9 - 16 = -7 < 0$

Ponieważ $\Delta < 0$ i współczynnik przy $m^2$ jest dodatni ($a=1>0$), trójmian $m^2+3m+4$ jest zawsze dodatni.

Nierówność $m^2+3m+4 < 0$ nie ma rozwiązań.

Zbiór rozwiązań: $\emptyset$ (brak rozwiązań).

1. Dziedzina: $[-4, 4)$ — od $-4$ do $4$ (bez 4, bo ostatni przedział to $(2,4)$ — otwarty z prawej).

2. Zbiór wartości:

• Na $[-4,-2]$: $f(x)=x+5$; $f(-4)=1$, $f(-2)=3$. Wartości: $[1,3]$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3$. Wartości: $\{3\}$.
• Na $(2,4)$: $f(x)=-3x+9$; $f(2^+)=3$, $f(4^-)=-3$. Wartości: $(-3,3)$.

Zbiór wartości: $(-3,3]$.

3. Argumenty, dla których $f(x)>0$:

• Na $[-4,-2]$: $x+5>0 \Rightarrow x>-5$ — cały odcinek: $[-4,-2]$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3>0$ — cały odcinek: $(-2,2]$.
• Na $(2,4)$: $-3x+9>0 \Rightarrow x<3$ — przedział $(2,3)$.

Odpowiedź: $[-4,3)$.

4. Równanie $f(x)=3$:

• Na $[-4,-2]$: $x+5=3 \Rightarrow x=-2$ — punkt $\{-2\}$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3$ dla całego przedziału $(-2,2]$.

Odpowiedź: $[-2,2]$.

Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-p)^2+q$ z wierzchołkiem $(p,q)=(3,6)$:

$$f(x) = a(x-3)^2 + 6$$

Podstawiamy punkt $(0,3)$:

$$f(0) = a(0-3)^2 + 6 = 9a + 6 = 3$$

$$9a = -3 \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$$

$$\boxed{f(x) = -\frac{1}{3}(x-3)^2 + 6}$$

Oś symetrii paraboli w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ to prosta $x=p$.

Wierzchołek ma $p=3$, więc oś symetrii to $x=3$.

$$g(x) = f(x)-3 = -\tfrac{1}{3}(x-3)^2+6-3 = -\tfrac{1}{3}(x-3)^2+3$$

Miejsca zerowe: $g(x)=0$:

$$-\tfrac{1}{3}(x-3)^2+3=0 \Rightarrow (x-3)^2=9 \Rightarrow x-3=\pm3$$

$$x_1=0, \quad x_2=6$$

$$x_1+x_2 = \mathbf{6}$$

Alternatywnie: dla $g(x)=a(x-p)^2+q$ suma pierwiastków $= 2p = 2\cdot3=6$.

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ nie ma miejsca zerowego tylko gdy $a = 0$ (jest funkcją stałą różną od zera).

Warunek: $3-m=0 \Rightarrow m=3$.

Sprawdzenie: dla $m=3$: $f(x)=-4 \neq 0$ dla żadnego $x$. ✓

$$a_1 = 1$$

$$a_2 = 2a_1+1 = 2\cdot1+1 = 3$$

$$a_3 = 2a_2+1 = 2\cdot3+1 = \mathbf{7}$$

Wyrazy: $a_1=1, a_2=3, a_3=7, a_4=15, \ldots$

Arytmetyczny? Różnice: $3-1=2$, $7-3=4$, $15-7=8$ — różne. NIE (F).

Geometryczny? Ilorazy: $3/1=3$, $7/3\approx2{,}33$ — różne. NIE (F).

Warunek arytmetyczności: różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:

$$(k+2)-3k = (k-2)-(k+2)$$

$$2-2k = -4$$

$$-2k = -6 \Rightarrow k = 3$$

Sprawdzenie: ciąg $(9,\ 5,\ 1)$ — różnica $= -4 < 0$, więc malejący. ✓

$$\boxed{k=3}$$

Iloraz geometryczny: $q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}$

$$a_4 = a_1 \cdot q^3 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 27 \cdot \frac{1}{27} = \mathbf{1}$$

Ponieważ $\alpha$ jest ostry, $\sin\alpha > 0$. Dzielimy obie strony przez $\sin\alpha$:

$$\sqrt{3}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha \quad \Big| :\ \sin\alpha$$

$$\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Weryfikacja: $\alpha = 30°$, $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\sin 30°=\frac{1}{2}$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=1 = 2\cdot\frac{1}{2}$ ✓

Przyjmujemy: $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, kąt prosty w $A$, więc $C=(0,h)$.

Środek $M$ odcinka $AB$: $M=(3,0)$.

Długość $CM=5$: $\sqrt{9+h^2}=5 \Rightarrow h^2=16 \Rightarrow h=4$.

Tak więc $C=(0,4)$, $AC=4$, $AB=6$.

$$\tan\alpha = \tan(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$