LekcjeRazem

Rozważamy stożki spełniające podane warunki: wysokość $h > 5$ oraz odległość środka podstawy od tworzącej równa $5$.

1. Krok 1 – Ustalenie oznączeń i związku między odległością a wymiarami stożka.

   Niech $r$ oznacza promień podstawy stożka, $h$ jego wysokość, a $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ – długość tworzącej.

   Środek podstawy stożka wyznacza jego oś. Odległość środka podstawy (wierzchołka tej podstawy) od tworzącej obliczamy jako odległość punktu od odcinka (prostej). Rozważmy przekrój osiowy stożka – trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i wysokości $h$. Środek podstawy leży w wierzchołku trójkąta przy podstawie.

   Odległość środka podstawy $O$ od tworzącej to odległość punktu $O$ od prostej zawierającej tworzącą. W tym trójkącie tworzącą odpowiada bok o długości $l = \sqrt{r^2 + h^2}$. Pole trójkąta (przekroju osiowego) wyraża się dwoma sposobami:

   $$P = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = r \cdot h$$

   oraz jako:

   $$P = \frac{1}{2} \cdot l \cdot d,$$

   gdzie $d$ jest odległością wierzchołka wierzchołkowego (wierzchołka osi) od tworzącej. Jednak szukamy odległości środka podstawy od tworzącej, nie wierzchołka stożka.

2. Krok 2 – Poprawne wyznaczenie odległości środka podstawy od tworzącej.

   Umieśćmy układ współrzędnych tak, by środek podstawy był w punkcie $O = (0, 0)$, a wierzchołek stożka w punkcie $A = (0, h)$. Prawa tworzącą wyznaczają punkty $A = (0, h)$ i $B = (r, 0)$.

   Równanie prostej przechodzącej przez $A = (0, h)$ i $B = (r, 0)$:

   $$\frac{x}{r} + \frac{y}{h} = 1 \quad \Longrightarrow \quad hx + ry - rh = 0.$$

   Odległość punktu $O = (0, 0)$ od tej prostej:

   $$d = \frac{|h \cdot 0 + r \cdot 0 - rh|}{\sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{rh}{\sqrt{r^2 + h^2}}.$$

   Zgodnie z warunkiem zadania $d = 5$, zatem:

   $$\frac{rh}{\sqrt{r^2 + h^2}} = 5.$$
3. Krok 3 – Wyznaczenie promienia $r$ w zależności od $h$.

   Podnosimy obie strony do kwadratu:

   $$\frac{r^2 h^2}{r^2 + h^2} = 25.$$

   Stąd:

   $$r^2 h^2 = 25(r^2 + h^2) = 25r^2 + 25h^2.$$ $$r^2 h^2 - 25r^2 = 25h^2.$$ $$r^2(h^2 - 25) = 25h^2.$$

   Ponieważ $h > 5$, mamy $h^2 - 25 > 0$, więc dzielenie jest poprawne:

   $$r^2 = \frac{25h^2}{h^2 - 25}.$$
4. Krok 4 – Wyznaczenie wzoru na objętość stożka.

   Objętość stożka wyraża się wzorem:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.$$

   Podstawiamy wyznaczone wyrażenie na $r^2$:

   $$V(h) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \frac{25h^2}{h^2 - 25} \cdot h = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}.$$

Wniosek: Dla stożka spełniającego warunki zadania ($h > 5$, odległość środka podstawy od tworzącej równa $5$), objętość jako funkcja wysokości wyraża się wzorem: