Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia warunkowego: otrzymamy co najmniej jeden raz 6 oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy 5 oczek.
-
Krok 1: Zdefiniowanie zdarzeń
Niech:
- $B$ – zdarzenie: dokładnie dwa razy wypadnie 5 oczek
- $A$ – zdarzenie: co najmniej jeden raz wypadnie 6 oczek
Szukamy prawdopodobieństwa warunkowego $P(A \mid B)$.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
-
Krok 2: Obliczenie $P(B)$ – prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa razy wypadnie 5
Każdy rzut daje wynik od 1 do 6, więc przestrzeń próby ma $6^4 = 1296$ elementów.
W każdym rzucie prawdopodobieństwo wypadnięcia 5 wynosi $\frac{1}{6}$, a niewypadnięcia 5 wynosi $\frac{5}{6}$. Liczba rzutów $n = 4$, szukamy dokładnie $k = 2$ sukcesów (wypadnięcia 5).
Ze wzoru dwumianowego:
$$P(B) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$$
-
Krok 3: Obliczenie $P(A \cap B)$ – prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa razy wypadnie 5 i co najmniej jeden raz wypadnie 6
Zdarzenie $A \cap B$ oznacza: dokładnie dwa rzuty dają 5 oraz co najmniej jeden z pozostałych dwóch rzutów daje 6.
Przy ustalonym zdarzeniu $B$ mamy 4 rzuty, z których dokładnie 2 dały 5. Pozostałe 2 rzuty muszą dać wynik różny od 5 (tj. jeden z wyników: 1, 2, 3, 4, 6 – czyli 5 możliwości).
Wygodnie skorzystamy ze wzoru:
$$P(A \cap B) = P(B) - P(B \cap A^c)$$
gdzie $A^c$ oznacza zdarzenie „ani razu nie wypadnie 6".
Obliczenie $P(B \cap A^c)$: dokładnie dwa razy wypadnie 5, a żaden z pozostałych rzutów nie da 6. Każdy rzut niebędący „5" musi dawać wynik z {1, 2, 3, 4} – czyli 4 możliwości spośród 6.
$$P(B \cap A^c) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{6}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{16}{36} = \frac{96}{1296} = \frac{2}{27}$$
Zatem:
$$P(A \cap B) = \frac{150}{1296} - \frac{96}{1296} = \frac{54}{1296} = \frac{1}{24}$$
-
Krok 4: Obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\dfrac{54}{1296}}{\dfrac{150}{1296}} = \frac{54}{150} = \frac{9}{25}$$
-
Krok 5: Sprawdzenie intuicyjne (metoda alternatywna)
Wiedząc, że dokładnie 2 rzuty dały 5, skupiamy się na pozostałych 2 rzutach, z których każdy może dać wynik z {1, 2, 3, 4, 6} (5 możliwości, bo 5 jest wykluczone).
Prawdopodobieństwo, że żaden z tych 2 rzutów nie da 6:
$$P(A^c \mid B) = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$$
Zatem:
$$P(A \mid B) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$
Wynik zgodny — obliczenia potwierdzone.
Wynik końcowy:
$$\boxed{P(A \mid B) = \frac{9}{25} = 0{,}36}$$