Należy wykazać, że dla każdych $a > 0$, $b > 0$, $b \neq \frac{1}{2}a$ zachodzi nierówność:
$$(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$$
-
Krok 1: Rozwinięcie lewej strony nierówności.
Rozwijamy wyrażenie $(a + 2b)^3$ korzystając ze wzoru $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:
$$(a + 2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2b + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3$$
$$= a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$$
-
Krok 2: Uproszczenie prawej strony nierówności.
Wyłączamy wspólny czynnik z prawej strony:
$$8a^2b + 16ab^2 = 8ab(a + 2b)$$
-
Krok 3: Sprowadzenie do równoważnej nierówności.
Dowodzimy równoważnej nierówności, przenosząc prawą stronę na lewą:
$$(a+2b)^3 - (8a^2b + 16ab^2) > 0$$
Podstawiamy rozwinięcia z kroków 1 i 2:
$$a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 - 8a^2b - 16ab^2 > 0$$
$$a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3 > 0$$
-
Krok 4: Faktoryzacja wyrażenia po lewej stronie.
Grupujemy wyrazy i rozkładamy na czynniki:
$$a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3$$
$$= a^2(a - 2b) - 4b^2(a - 2b)$$
$$= (a - 2b)(a^2 - 4b^2)$$
$$= (a - 2b)(a - 2b)(a + 2b)$$
$$= (a - 2b)^2(a + 2b)$$
-
Krok 5: Analiza znaku iloczynu.
Należy wykazać, że $(a-2b)^2(a+2b) > 0$. Analizujemy oba czynniki:
- Czynnik $(a-2b)^2$: Jest to kwadrat liczby rzeczywistej, więc $(a-2b)^2 \geq 0$. Z założenia $b \neq \frac{1}{2}a$, czyli $2b \neq a$, co oznacza $a - 2b \neq 0$. Zatem:
$$(a-2b)^2 > 0$$
- Czynnik $(a+2b)$: Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$, mamy:
$$a + 2b > 0$$
Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, zatem:
$$(a-2b)^2 \cdot (a+2b) > 0$$
Podsumowanie:
Wykazaliśmy, że:
$$(a+2b)^3 - (8a^2b + 16ab^2) = (a-2b)^2(a+2b) > 0$$
gdyż $(a-2b)^2 > 0$ (bo $a \neq 2b$, z założenia $b \neq \frac{1}{2}a$) oraz $(a+2b) > 0$ (bo $a>0, b>0$).
Stąd dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takiej, że $b \neq \frac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność:
$$(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2 \qquad \blacksquare$$