Trójkąty przystające można na siebie nałożyć — pokrywają się dokładnie.

Kontrprzykład dla A: trójkąt o podstawie $6$ i wysokości $2$ oraz trójkąt o podstawie $4$ i wysokości $3$ mają to samo pole $6$, ale nie są przystające.

Odpowiedź: B. takie, które mają wszystkie odpowiadające boki i kąty równe.

Cechy przystawania:

• BBB — trzy pary równych boków
• BKB — dwa boki i kąt między nimi
• KBK — dwa kąty i bok między nimi

Dlaczego nie KKK: trzy równe kąty gwarantują tylko podobieństwo. Trójkąt o kątach $60^\circ$ i boku $1$ oraz trójkąt o tych samych kątach i boku $100$ mają identyczny kształt, ale zupełnie inny rozmiar.

Odpowiedź: BBB, BKB, KBK; KKK daje tylko podobieństwo.

Sprawdzamy nierówność trójkąta — suma dwóch krótszych musi przewyższać najdłuższy:

$$4+5=9<10$$

Warunek nie jest spełniony.

Odpowiedź: nie, takiego trójkąta zbudować się nie da.

Krok 1 — suma kątów:

$$(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt:

$$540^\circ:5=108^\circ$$

Uwaga: $72^\circ$ to kąt zewnętrzny ($360^\circ:5$).

Odpowiedź: C. $108^\circ$.

Warunek górny. Trzeci bok musi być krótszy od sumy pozostałych:

$$x<7+9=16$$

Warunek dolny. Musi być dłuższy od ich różnicy:

$$x>9-7=2$$

$$2

Odpowiedź: trzeci bok mieści się między $2$ a $16$.

Wszystkie trzy pary boków są równe — to dokładnie cecha BBB.

Cecha KKK nie istnieje jako warunek przystawania.

Odpowiedź: A. przystające na mocy cechy BBB.

Wszystkie kąty zewnętrzne są równe, a jest ich osiem:

$$360^\circ:8=45^\circ$$

Kontrola. Kąt wewnętrzny wynosi wtedy $180^\circ-45^\circ=135^\circ$, a suma wszystkich: $8\cdot135^\circ=1080^\circ=(8-2)\cdot180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $45^\circ$.

Krok 1 — co mamy równe:

• $AC=BC$ — z założenia (ramiona)
• $CD$ — bok wspólny obu trójkątów
• kąty przy $D$ są proste — bo $CD$ jest wysokością

Krok 2 — trzeci bok. W obu trójkątach z twierdzenia Pitagorasa:

$$AD=\sqrt{AC^2-CD^2},\qquad BD=\sqrt{BC^2-CD^2}$$

Skoro $AC=BC$, to $AD=BD$.

Krok 3 — wniosek. Trzy pary boków są równe, więc trójkąty są przystające na mocy cechy BBB. ∎

Konsekwencja: wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na połowy i jest jednocześnie środkową oraz dwusieczną kąta przy wierzchołku.

Kwadrat ma cztery osie symetrii: dwie przechodzące przez środki przeciwległych boków oraz dwie pokrywające się z przekątnymi.

Ogólnie: $n$-kąt foremny ma dokładnie $n$ osi symetrii.

Odpowiedź: D. $4$.

Sposób 1 — przez sumę kątów wewnętrznych:

$$(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ,\qquad 1440^\circ:10=144^\circ$$

Sposób 2 — przez kąt zewnętrzny (szybszy):

$$360^\circ:10=36^\circ,\qquad 180^\circ-36^\circ=144^\circ$$

Odpowiedź: $144^\circ$.

Sprawdzamy warunek „suma dwóch krótszych $>$ najdłuższy”:

• $2+3=5<6$ ✘
• $6+8=14>11$ ✔
• $1+2=3=3$ ✘ (równość to za mało — wyszedłby odcinek, nie trójkąt)
• $4+4=8<9$ ✘

Odpowiedź: B. $6$, $8$, $11$.

Krok 1 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Krok 2 — liczba boków. Suma kątów zewnętrznych to zawsze $360^\circ$:

$$n=360^\circ:30^\circ=12$$

Sprawdzenie: $(12-2)\cdot180^\circ:12=1800^\circ:12=150^\circ$ ✔

Odpowiedź: $12$ boków.

Założenie. W trójkącie $ABC$ mamy $AC=BC$.

Krok 1 — konstrukcja pomocnicza. Poprowadźmy dwusieczną $CD$ kąta przy wierzchołku $C$.

Krok 2 — porównanie trójkątów $ACD$ i $BCD$:

• $AC=BC$ — z założenia
• kąty $ACD$ i $BCD$ są równe — bo $CD$ to dwusieczna
• $CD$ — bok wspólny

Krok 3 — wniosek. Zachodzi cecha BKB (dwa boki i kąt między nimi), więc trójkąty są przystające.

Krok 4. W trójkątach przystających odpowiadające kąty są równe, a kąt przy $A$ odpowiada kątowi przy $B$. Zatem kąty przy podstawie są równe. ∎

Definicja wprowadza nazwę dla pewnego pojęcia — nie wymaga dowodu.

Twierdzenie to zdanie, którego prawdziwość trzeba udowodnić.

Odpowiedzi B, C i D nazywają pojęcia. Zdanie A wymaga dowodu — i taki dowód istnieje (np. przez poprowadzenie prostej równoległej do jednego z boków).

Odpowiedź: A. suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$.