Proporcja to równość dwóch stosunków: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Odpowiedź: B.

Mnożymy na krzyż:

$$8x=4\cdot6=24 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: $x=3$.

Własność proporcji: iloczyn wyrazów skrajnych = iloczyn środkowych:

$$a\cdot d=b\cdot c$$

Odpowiedź: A.

Mnożymy na krzyż:

$$10x=5\cdot6=30 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — proporcja:

$$\frac{12}{3}=\frac{x}{5}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$3x=60 \quad\Rightarrow\quad x=20$$

Odpowiedź: $20$ zł.

W proporcjonalności prostej obie wielkości zmieniają się tak samo — iloraz jest stały.

Odpowiedź: C. rośnie $2$ razy.

Krok 1 — proporcja (droga proporcjonalna do czasu):

$$\frac{150}{2}=\frac{x}{5}$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$2x=750 \quad\Rightarrow\quad x=375\ \text{km}$$

Odpowiedź: $375$ km.

Krok 1 — liczba części: $2+3=5$.

Krok 2 — wartość jednej części:

$$60:5=12\ \text{zł}$$

Krok 3 — rozdzielamy:

$$2\cdot12=24\ \text{zł},\qquad 3\cdot12=36\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $24+36=60$ ✔

Odpowiedź: $24$ zł i $36$ zł.

Dzielimy oba wyrazy przez $2$:

$$4:6=2:3$$

Odpowiedź: D. $2:3$.

Krok 1 — odległość rzeczywista w cm:

$$4\cdot200\,000=800\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na km ($1$ km $=100\,000$ cm):

$$800\,000\ \text{cm}=8\ \text{km}$$

Odpowiedź: $8$ km.

$$3x=18 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Odpowiedź: B. $6$.

Krok 1 — całkowity nakład pracy (robotnikodni):

$$4\cdot6=24$$

Krok 2 — dzielimy przez liczbę robotników:

$$24:8=3\ \text{dni}$$

Uwaga. Więcej robotników → mniej dni — to proporcjonalność ODWROTNA (iloczyn stały, nie iloraz).

Odpowiedź: $3$ dni.

Krok 1 — części: $1+4=5$.

Krok 2 — jedna część: $100:5=20$ zł.

Krok 3 — podział:

$$1\cdot20=20\ \text{zł},\qquad 4\cdot20=80\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $20$ zł i $80$ zł.

Sprawdzamy A: $2\cdot6=12$, $3\cdot4=12$ — równe, proporcja prawdziwa.

Odpowiedź: A. $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$.

Krok 1 — proporcja (ilość mąki proporcjonalna do liczby osób):

$$\frac{200}{4}=\frac{x}{10}$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4x=2000 \quad\Rightarrow\quad x=500\ \text{g}$$

Odpowiedź: $500$ g mąki.

Na $3$ części chłopców przypada $15$, więc jedna część to $5$. Dziewcząt jest $2$ części: $2\cdot5=10$.

Odpowiedź: C. $10$.

Krok 1 — liczba części: $2+3+2=7$.

Krok 2 — jedna część: $84:7=12$.

Krok 3 — rozdzielamy:

$$2\cdot12=24,\qquad 3\cdot12=36,\qquad 2\cdot12=24$$

Sprawdzenie: $24+36+24=84$ ✔

Odpowiedź: $24$, $36$ i $24$ cukierki.

Krok 1 — mnożymy na krzyż:

$$4(x+1)=6x$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4x+4=6x \quad\Rightarrow\quad 4=2x \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: $\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac12$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Krok 1 — części: $1+2+4=7$.

Krok 2 — jedna część: $210:7=30$ kg.

Krok 3 — składniki:

$$\text{cement: }1\cdot30=30\ \text{kg}$$

$$\text{piasek: }2\cdot30=60\ \text{kg}$$

$$\text{żwir: }4\cdot30=120\ \text{kg}$$

Sprawdzenie: $30+60+120=210$ ✔

Odpowiedź: $30$ kg, $60$ kg, $120$ kg.

Krok 1 — rozbijamy lewą stronę:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$$

Krok 2 — tak samo prawą:

$$\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+1$$

Krok 3 — korzystamy z założenia $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Zatem:

$$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1 \quad\Rightarrow\quad \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d} \qquad ∎$$

Sprawdzenie dla $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$: $\frac{5}{3}$ i $\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$ ✔