Mnożymy na krzyż — iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych są równe:

$$8x=4\cdot6=24 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sposób szybszy: ułamek $\frac68$ skraca się do $\frac34$, więc od razu widać, że $x=3$.

Odpowiedź: B. $x=3$.

Mnożymy na krzyż:

$$15x=5\cdot9=45$$

Dzielimy:

$$x=\frac{45}{15}=3$$

Sprawdzenie: $\frac53$ oraz $\frac{15}{9}=\frac53$ — obie strony są równe ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Cena jest wprost proporcjonalna do masy, więc układamy proporcję:

$$\frac{4}{14}=\frac{6}{x}$$

Mnożymy na krzyż:

$$4x=84 \quad\Rightarrow\quad x=21$$

Sposób alternatywny — przez cenę jednostkową: $1$ kg kosztuje $14:4=3{,}50$ zł, więc $6$ kg to $6\cdot3{,}50=21$ zł. Ten sam wynik.

Odpowiedź: $6$ kg jabłek kosztuje $21$ zł.

Wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały — wzrost jednej powoduje proporcjonalny spadek drugiej.

Przy ustalonej trasie zachodzi $s=v\cdot t$, gdzie $s$ jest stałe. Im większa prędkość, tym krótszy czas:

$$v\cdot t=\text{const}$$

Pozostałe przypadki są wprost proporcjonalne — tam stały jest iloraz: cena za bułkę, prędkość, stosunek obwodu do boku.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — liczymy części. Stosunek $2:3$ oznacza podział na $2+3=5$ równych części.

Krok 2 — wartość jednej części:

$$180:5=36\ \text{zł}$$

Krok 3 — obie części:

$$2\cdot36=72\ \text{zł},\qquad 3\cdot36=108\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $72+108=180$ zł ✔, a stosunek $72:108$ po skróceniu przez $36$ daje $2:3$ ✔

Odpowiedź: części wynoszą $72$ zł i $108$ zł.

Krok 1 — łączna liczba części:

$$3+4=7$$

Krok 2 — jedna część:

$$56:7=8\ \text{cm}$$

Krok 3 — obie części:

$$3\cdot8=24\ \text{cm},\qquad 4\cdot8=32\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $24+32=56$ cm ✔

Odpowiedź: części mają $24$ cm i $32$ cm.

Liczba pracowników i czas są odwrotnie proporcjonalne — więcej osób oznacza krótszy czas, a iloczyn pozostaje stały.

Krok 1 — całkowity nakład pracy:

$$5\cdot12=60\ \text{dniówek}$$

Krok 2 — dzielimy przez nową liczbę pracowników:

$$60:6=10\ \text{dni}$$

Kontrola sensu: pracowników jest więcej, więc czas musi być krótszy niż $12$ dni. Odpowiedzi B i C są większe od $12$ — można je odrzucić bez liczenia.

Odpowiedź: A. $10$ dni.

Odległość rzeczywista jest wprost proporcjonalna do odległości na mapie.

Krok 1 — mnożymy przez mianownik skali:

$$7\cdot200\,000=1\,400\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamieniamy jednostki. $1$ km $=100\,000$ cm:

$$1\,400\,000:100\,000=14\ \text{km}$$

Odpowiedź: miasta dzieli $14$ km.

Ilość mąki jest wprost proporcjonalna do liczby bułek.

Krok 1 — układamy proporcję:

$$\frac{12}{900}=\frac{20}{x}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$12x=18\,000 \quad\Rightarrow\quad x=1500$$

Sposób alternatywny: na jedną bułkę przypada $900:12=75$ g mąki, więc na $20$ bułek trzeba $20\cdot75=1500$ g.

Odpowiedź: potrzeba $1500$ g mąki, czyli $1{,}5$ kg.

Przy proporcjonalności prostej stały jest iloraz obu wielkości:

$$\frac{y}{x}=\text{const}=\frac{20}{8}=2{,}5$$

Obliczamy nową wartość:

$$y=2{,}5\cdot14=35$$

Sprawdzenie proporcją: $\frac{8}{20}=\frac{14}{35}$, bo $8\cdot35=280$ oraz $20\cdot14=280$ ✔

Odpowiedź: D. $y=35$.

Krok 1 — łączna liczba części:

$$1+2+5=8$$

Krok 2 — wartość jednej części:

$$2400:8=300\ \text{zł}$$

Krok 3 — poszczególne udziały:

$$1\cdot300=300\ \text{zł},\qquad 2\cdot300=600\ \text{zł},\qquad 5\cdot300=1500\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $300+600+1500=2400$ zł ✔

Odpowiedź: osoby otrzymały $300$ zł, $600$ zł i $1500$ zł.

Zużycie paliwa jest wprost proporcjonalne do przebytej drogi.

Krok 1 — proporcja:

$$\frac{6}{100}=\frac{x}{250}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$100x=1500 \quad\Rightarrow\quad x=15$$

Kontrola sensu: trasa jest $2{,}5$ raza dłuższa niż $100$ km, więc paliwa powinno pójść $2{,}5$ raza więcej: $2{,}5\cdot6=15$ l ✔

Odpowiedź: samochód zużyje $15$ litrów benzyny.

Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych.

W zapisie $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ skrajne to $a$ i $d$, a środkowe to $b$ i $c$:

$$a\cdot d=b\cdot c$$

Sprawdźmy na liczbach dla $\frac24=\frac36$:

$$2\cdot6=12 \qquad \text{oraz} \qquad 4\cdot3=12$$

Zgadza się. Wariant A dałby $2\cdot3=6$ i $4\cdot6=24$ — nierówne.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — łączna liczba części. Zaprawa składa się z $1$ części cementu i $4$ części piasku:

$$1+4=5$$

Krok 2 — masa jednej części:

$$60:5=12\ \text{kg}$$

Krok 3 — masa cementu to jedna część:

$$1\cdot12=12\ \text{kg}$$

Częsty błąd: podzielenie $60$ przez $4$ zamiast przez $5$. Stosunek $1:4$ oznacza $5$ części całości, a nie $4$.

Sprawdzenie: piasku będzie $4\cdot12=48$ kg, a razem $12+48=60$ kg ✔

Odpowiedź: potrzeba $12$ kg cementu.

Liczba kosiarek i czas pracy są odwrotnie proporcjonalne — ich iloczyn jest stały.

Krok 1 — całkowity nakład pracy:

$$8\cdot6=48\ \text{godzin pracy kosiarki}$$

Krok 2 — dzielimy przez nową liczbę kosiarek:

$$48:4=12\ \text{godzin}$$

Kontrola sensu: kosiarek jest dwa razy mniej, więc czas powinien być dwa razy dłuższy: $2\cdot6=12$ h ✔

Odpowiedź: $4$ kosiarki skoszą trawnik w $12$ godzin.

Przy proporcjonalności odwrotnej stały jest iloczyn:

$$x\cdot y=\text{const}=3\cdot20=60$$

Obliczamy nową wartość:

$$12\cdot y=60 \quad\Rightarrow\quad y=5$$

Kontrola sensu: $x$ wzrosło czterokrotnie ($3\to12$), więc $y$ musi zmaleć czterokrotnie: $20:4=5$ ✔

Pułapka: odpowiedź A ($80$) to wynik potraktowania wielkości jako wprost proporcjonalnych.

Odpowiedź: C. $y=5$.

Krok 1 — stosunek wkładów. Dzielimy wszystkie kwoty przez $1000$:

$$5:8:12$$

Krok 2 — łączna liczba części:

$$5+8+12=25$$

Krok 3 — wartość jednej części:

$$12\,500:25=500\ \text{zł}$$

Krok 4 — udziały poszczególnych wspólników:

$$5\cdot500=2500\ \text{zł},\qquad 8\cdot500=4000\ \text{zł},\qquad 12\cdot500=6000\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $2500+4000+6000=12\,500$ zł ✔

Odpowiedź: wspólnicy otrzymali $2500$ zł, $4000$ zł i $6000$ zł.

Krok 1 — łączna liczba części:

$$4+5=9$$

Krok 2 — ilu uczniów przypada na jedną część:

$$27:9=3$$

Krok 3 — liczba chłopców to $5$ części:

$$5\cdot3=15$$

Sprawdzenie: dziewcząt jest $4\cdot3=12$, a razem $12+15=27$ ✔, przy czym $12:15$ po skróceniu przez $3$ daje $4:5$ ✔

Odpowiedź: w klasie jest $15$ chłopców.