Średnica to podwojony promień:

$$d=2r=2\cdot5=10\ \text{cm}$$

Odpowiedź: B. $10$ cm.

$$L=2\pi r=2\pi\cdot7=14\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: przy $\pi\approx3{,}14$ daje to około $43{,}96$ cm.

Odpowiedź: $14\pi$ cm.

$$P=\pi r^2=\pi\cdot9=9\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: do kwadratu podnosimy tylko promień, nie $\pi$.

Odpowiedź: $9\pi\approx28{,}26$ cm$^2$.

Okrąg to zbiór punktów oddalonych od środka dokładnie o promień — sama krzywa.

Koło to okrąg razem ze wszystkimi punktami wewnątrz.

Stąd: okrąg ma długość ($L=2\pi r$), a koło ma pole ($P=\pi r^2$).

Odpowiedź: C. okrąg to sama linia, koło to linia razem z wnętrzem.

Gdy dana jest średnica, korzystamy ze wzoru $L=\pi d$:

$$L=\pi\cdot10=10\pi\ \text{cm}\approx31{,}4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $10\pi$ cm.

Krok 1 — promień:

$$r=8:2=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\ \text{cm}^2$$

Pułapka: wstawienie średnicy zamiast promienia daje $64\pi$ — wynik czterokrotnie za duży.

Odpowiedź: A. $16\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — promień z długości:

$$2\pi r=18\pi \quad\Rightarrow\quad r=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole koła:

$$P=\pi\cdot81=81\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $r=9$ cm, $P=81\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — jeden obrót to długość okręgu:

$$L=\pi d\approx3{,}14\cdot70=219{,}8\ \text{cm}$$

Krok 2 — sto obrotów:

$$100\cdot219{,}8=21\,980\ \text{cm}$$

Krok 3 — zamiana na metry:

$$21\,980:100=219{,}8\ \text{m}$$

Odpowiedź: około $220$ m.

Pole całego koła to $\pi\cdot36=36\pi$ cm$^2$, a półkole to jego połowa:

$$P=\frac{36\pi}{2}=18\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: D. $18\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — promień:

$$\pi r^2=49\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=49 \quad\Rightarrow\quad r=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — długość okręgu:

$$L=2\pi\cdot7=14\pi\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $r=7$ cm, $L=14\pi$ cm.

Pole zależy od kwadratu promienia:

$$P_{\text{nowe}}=\pi(2r)^2=4\pi r^2=4P$$

Dla porównania: długość okręgu $L=2\pi r$ zależy od promienia liniowo, więc ona akurat się podwoi.

Odpowiedź: B. wzrośnie czterokrotnie.

Obrzeże to długość okręgu:

$$L=2\pi\cdot4=8\pi\approx25{,}12\ \text{m}$$

Ziemia to pole koła:

$$P=\pi\cdot16=16\pi\approx50{,}24\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: około $25{,}1$ m obrzeża i około $50{,}2$ m$^2$ ziemi.

Od pola większego koła odejmujemy pole mniejszego:

$$P=\pi\cdot5^2-\pi\cdot3^2=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie wolno liczyć $\pi(5-3)^2=4\pi$ — trzeba najpierw podnieść do kwadratu, potem odjąć.

Odpowiedź: $16\pi\approx50{,}24$ cm$^2$.

Koło wpisane dotyka wszystkich czterech boków, więc jego średnica jest równa bokowi kwadratu:

$$d=10\ \text{cm} \quad\Rightarrow\quad r=5\ \text{cm}$$

Odpowiedź: C. $5$ cm.

Krok 1 — łuk półkola to połowa długości okręgu:

$$\frac{2\pi\cdot6}{2}=6\pi\ \text{cm}$$

Krok 2 — średnica:

$$d=12\ \text{cm}$$

Krok 3 — obwód figury:

$$O=6\pi+12\approx18{,}84+12=30{,}84\ \text{cm}$$

Uwaga: obwód półkola to nie sam łuk — trzeba doliczyć odcinek zamykający figurę.

Odpowiedź: $6\pi+12\approx30{,}8$ cm.

Pole całego koła to $16\pi$ cm$^2$, a ćwiartka to jedna czwarta:

$$\frac{16\pi}{4}=4\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: A. $4\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=12\cdot12=144\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień koła wpisanego:

$$r=12:2=6\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_2=\pi\cdot36=36\pi\approx113{,}04\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — różnica:

$$P=144-113{,}04=30{,}96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: około $31$ cm$^2$.

Krok 1 — pierwszy przypadek. Koza obchodzi koło o promieniu $5$ m:

$$P_1=\pi\cdot25\approx78{,}5\ \text{m}^2$$

Krok 2 — po wydłużeniu liny:

$$P_2=\pi\cdot100\approx314\ \text{m}^2$$

Krok 3 — porównanie. Lina jest dwa razy dłuższa, ale powierzchnia wzrosła czterokrotnie:

$$\frac{314}{78{,}5}=4$$

Odpowiedź: około $78{,}5$ m$^2$, a po wydłużeniu około $314$ m$^2$.

Krok 1 — proste odcinki. To dwa dłuższe boki prostokąta:

$$2\cdot100=200\ \text{m}$$

Krok 2 — łuki. Dwa półkola o średnicy $60$ m tworzą razem pełny okrąg:

$$L=\pi\cdot60\approx188{,}4\ \text{m}$$

Krok 3 — razem:

$$200+188{,}4=388{,}4\ \text{m}$$

Uwaga: krótsze boki prostokąta nie należą do obwodu — są schowane wewnątrz figury, na styku z półkolami.

Odpowiedź: około $388{,}4$ m.