W wariacjach kolejność ma znaczenie (np. ustawienia), a w kombinacjach — nie (np. wybór grupy).

Odpowiedź: C. kolejność elementów.

Kolejność ma znaczenie (przewodniczący ≠ zastępca), więc to wariacja bez powtórzeń:

$$5\cdot4=20$$

Odpowiedź: $20$ sposobów.

Kombinacje (wybór bez kolejności) liczymy symbolem Newtona:

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Odpowiedź: B. $\binom{n}{k}$.

$$\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\cdot3!}=\frac{5\cdot4}{2}=10$$

Odpowiedź: $10$.

Delegacja to wybór bez kolejności, więc kombinacja:

$$\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15$$

Odpowiedź: A. $15$.

$$\binom{7}{0}=1,\qquad \binom{7}{7}=1$$

Interpretacja: jest jeden sposób wybrania zera elementów (nic) i jeden sposób wybrania wszystkich.

Odpowiedź: oba równe $1$.

Kolejność ma znaczenie (liczba $12\neq21$), cyfry różne — wariacja bez powtórzeń:

$$5\cdot4=20$$

Odpowiedź: $20$ liczb.

$$\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3!}=\frac{336}{6}=56$$

Wskazówka: w liczniku bierzemy $3$ kolejne czynniki od $8$ w dół, w mianowniku $3!=6$.

Odpowiedź: $56$.

Własność symetrii symbolu Newtona:

$$\binom{10}{8}=\binom{10}{10-8}=\binom{10}{2}$$

Praktyczna korzyść: $\binom{10}{2}=45$ liczy się łatwiej niż $\binom{10}{8}$.

Odpowiedź: D. $\binom{10}{2}$.

Wybór bez kolejności — kombinacja:

$$\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=120$$

Odpowiedź: $120$ sposobów.

Miejsca są rozróżnialne (kolejność istotna), a osoby się nie powtarzają — to wariacja bez powtórzeń:

$$7\cdot6\cdot5=210$$

Odpowiedź: B. wariacja bez powtórzeń.

Krok 1 — łączymy pary wierzchołków. Wybór $2$ z $6$ wierzchołków:

$$\binom{6}{2}=15$$

Krok 2 — odejmujemy boki (to nie przekątne):

$$15-6=9$$

Wzór ogólny: $\frac{n(n-3)}{2}=\frac{6\cdot3}{2}=9$ ✔

Odpowiedź: $9$ przekątnych.

Para to wybór bez kolejności:

$$\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2}=10$$

Odpowiedź: $10$ par.

$$\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=6$$

Odpowiedź: C. $6$.

(a) Bez funkcji — kolejność nieistotna, kombinacja:

$$\binom{6}{2}=15$$

(b) Z funkcjami — kolejność istotna, wariacja:

$$6\cdot5=30$$

Kluczowa różnica. Wariacji jest dwa razy więcej, bo każdej parze odpowiadają dwa przydziały funkcji. Ogólnie: $\text{wariacje}=\text{kombinacje}\cdot k!$.

Odpowiedź: (a) $15$, (b) $30$.

$$\binom{n}{1}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=n$$

Interpretacja: jest $n$ sposobów wybrania jednego elementu.

Odpowiedź: A. $n$.

Kolejność ma znaczenie, cyfry różne — wariacja bez powtórzeń $3$-elementowa z $6$:

$$6\cdot5\cdot4=120$$

Rozumowanie: pierwsza cyfra $6$ możliwości, druga $5$ (jedna zużyta), trzecia $4$.

Uwaga: zbiór nie zawiera zera, więc nie ma problemu z pierwszą cyfrą.

Odpowiedź: $120$.

Krok 1 — uścisk to para osób (kolejność nieistotna — A ściska B to to samo co B ściska A):

$$\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45$$

Interpretacja. To klasyczne zadanie „o uściskach dłoni" — liczba par w grupie $n$ osób to $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$.

Odpowiedź: $45$ uścisków.

Krok 1 — wybór $2$ kobiet z $7$:

$$\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21$$

Krok 2 — wybór $1$ mężczyzny z $5$:

$$\binom{5}{1}=5$$

Krok 3 — reguła mnożenia. Wybory są niezależne:

$$21\cdot5=105$$

Metoda. Gdy zespół ma określony skład, mnożymy liczby kombinacji dla każdej grupy osobno.

Odpowiedź: $105$ sposobów.

Krok 1 — rozpisujemy prawą stronę ze wzoru:

$$\binom{n}{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\,\bigl(n-(n-k)\bigr)!}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!}$$

Krok 2 — porównujemy z lewą stroną:

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

Krok 3 — wniosek. Oba wyrażenia mają identyczny mianownik (iloczyn $k!$ i $(n-k)!$ jest przemienny), więc są równe. $\qquad ∎$

Interpretacja. Wybór $k$ elementów „do grupy" jest równoważny wyborowi $n-k$ elementów „poza grupę" — stąd równość. Sprawdzenie: $\binom{10}{8}=\binom{10}{2}=45$ ✔