$$3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $3\cdot4-12=0$ ✔

Odpowiedź: C. $4$.

Krok 1 — wyróżnik:

$$\Delta=25-24=1,\qquad \sqrt\Delta=1$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

Szybciej wzorami Viete: szukamy liczb o sumie $5$ i iloczynie $6$ — to $2$ i $3$.

Odpowiedź: $x\in\{2,\,3\}$.

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

$$a_{12}=5+11\cdot3=5+33=38$$

Uwaga: dodajemy $11$ różnic, nie $12$ — pierwszy wyraz już jest na starcie.

Odpowiedź: $38$.

$$2x>6 \quad\Rightarrow\quad x>3$$

Uwaga: dzielimy przez liczbę dodatnią, więc zwrot nierówności pozostaje bez zmian.

Odpowiedź: B. $x>3$.

$$a_n=a_1 q^{n-1}$$

$$a_5=3\cdot2^4=3\cdot16=48$$

Odpowiedź: $48$.

Dzielimy obie strony przez $-3$ — liczbę ujemną, więc odwracamy zwrot nierówności:

$$x<-3$$

Sprawdzenie dla $x=-4$: $-3\cdot(-4)=12>9$ ✔

Odpowiedź: A. $x<-3$.

Krok 1 — ostatni wyraz:

$$a_{20}=2+19\cdot3=59$$

Krok 2 — suma:

$$S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot20=\frac{2+59}{2}\cdot20=61\cdot10=610$$

Odpowiedź: $610$.

Metoda przeciwnych współczynników. Dodajemy równania stronami — niewiadoma $y$ się redukuje:

$$3x=15 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Wracamy do pierwszego równania:

$$5+y=10 \quad\Rightarrow\quad y=5$$

Sprawdzenie w drugim: $2\cdot5-5=5$ ✔

Odpowiedź: $x=5$, $y=5$.

$$x^2=-4$$

Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.

Kontrola wyróżnikiem: $\Delta=0-16=-16<0$ ✔

Odpowiedź: D. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Z własności wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:

$$8^2=x\cdot32 \quad\Rightarrow\quad 64=32x \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: iloraz to $\frac82=4$ oraz $\frac{32}{8}=4$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Krok 1 — iloraz:

$$q=\frac26=\frac13,\qquad |q|<1 \ \text{— szereg zbieżny}$$

Krok 2 — suma:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac13}=\frac{6}{\frac23}=9$$

Odpowiedź: C. $9$.

Krok 1 — rozkład na czynniki:

$$(x-3)(x+3)\le0$$

Krok 2 — miejsca zerowe: $-3$ i $3$.

Krok 3 — znak. Ramiona paraboli w górę, więc wartości niedodatnie są między pierwiastkami:

$$x\in\langle-3,\,3\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle-3,\,3\rangle$.

Krok 1 — różnica. Między trzecim a siódmym wyrazem są cztery kroki:

$$4r=27-11=16 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 2 — pierwszy wyraz. Cofamy się od $a_3$ o dwie różnice:

$$a_1=11-2\cdot4=3$$

Sprawdzenie: $a_7=3+6\cdot4=27$ ✔

Odpowiedź: $a_1=3$, $r=4$.

Wartość bezwzględna daje dwa przypadki:

$$x-2=5 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

$$x-2=-5 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

Interpretacja: szukamy liczb odległych od $2$ o $5$ jednostki — jedna leży w prawo, druga w lewo.

Odpowiedź: A. $x=7$ lub $x=-3$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq3$.

Krok 2 — mnożymy przez mianownik (wolno, bo jest niezerowy w dziedzinie):

$$2x+1=3(x-3)=3x-9$$

Krok 3 — porządkujemy:

$$10=x$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $10\neq3$ ✔

Odpowiedź: $x=10$.

Sprawdzamy różnicę kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_n=\left(5-2(n+1)\right)-(5-2n)=-2$$

Różnica jest stała i ujemna, więc ciąg jest arytmetyczny i malejący.

Ogólnie: ciąg postaci $a_n=an+b$ jest zawsze arytmetyczny o różnicy $a$.

Odpowiedź: B. malejący arytmetyczny o różnicy $-2$.

Warunek: $\Delta>0$.

Krok 1 — wyróżnik:

$$\Delta=36-4m$$

Krok 2 — nierówność:

$$36-4m>0 \quad\Rightarrow\quad 4m<36 \quad\Rightarrow\quad m<9$$

Sprawdzenie dla $m=0$: równanie $x^2-6x=0$ ma pierwiastki $0$ i $6$ ✔

Odpowiedź: $m\in(-\infty,\,9)$.

Krok 1 — sprytne oznaczenie. Zapiszmy wyrazy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy suma upraszcza się natychmiast:

$$(a-r)+a+(a+r)=3a=27 \quad\Rightarrow\quad a=9$$

Krok 2 — iloczyn:

$$(9-r)\cdot9\cdot(9+r)=585$$

$$9(81-r^2)=585 \quad\Rightarrow\quad 81-r^2=65 \quad\Rightarrow\quad r^2=16$$

Krok 3 — obie wartości $r$: $r=4$ albo $r=-4$ — dają ten sam zestaw liczb, tylko w odwrotnej kolejności.

Sprawdzenie: $5+9+13=27$ ✔ oraz $5\cdot9\cdot13=585$ ✔

Odpowiedź: $5$, $9$, $13$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-2$.

Krok 2 — zamiana na iloczyn (ułamek ma znak iloczynu licznika i mianownika):

$$(x-1)(x+2)\le0$$

Krok 3 — miejsca zerowe: $-2$ i $1$; wartości niedodatnie są między nimi.

Krok 4 — domknięcia. Punkt $x=1$ należy (ułamek równa się zeru), ale $x=-2$ nie należy — wypada z dziedziny:

$$x\in(-2,\,1\rangle$$

Sprawdzenie dla $x=0$: $\frac{-1}{2}<0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-2,\,1\rangle$.