$$V=\pi r^2 H=\pi\cdot16\cdot5=80\pi$$

Pułapka: $20\pi$ powstałoby z $\pi\cdot4\cdot5$ — bez podnoszenia promienia do kwadratu.

Odpowiedź: C. $80\pi$.

$$V=\frac13\pi r^2 H=\frac13\pi\cdot9\cdot7=21\pi$$

Zapamiętaj: stożek ma trzy razy mniejszą objętość niż walec o tej samej podstawie i wysokości.

Odpowiedź: $21\pi\approx65{,}97$.

Objętość:

$$V=\frac43\pi r^3=\frac43\pi\cdot27=36\pi$$

Pole powierzchni:

$$P=4\pi r^2=4\pi\cdot9=36\pi$$

Ciekawostka: dla $r=3$ obie wielkości wychodzą liczbowo takie same — to zbieg okoliczności, bo mają różne jednostki.

Odpowiedź: $V=36\pi$, $P=36\pi$.

Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny:

$$l=\sqrt{r^2+H^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Rozpoznanie: trójka $6$–$8$–$10$.

Odpowiedź: A. $10$.

Dwie podstawy:

$$2\pi r^2=2\pi\cdot4=8\pi$$

Powierzchnia boczna — prostokąt o wymiarach $2\pi r$ na $H$:

$$2\pi\cdot2\cdot5=20\pi$$

Razem:

$$P=8\pi+20\pi=28\pi$$

Odpowiedź: $28\pi$.

Przekrój osiowy walca to prostokąt o wymiarach: średnica podstawy na wysokość.

$$2r=6,\qquad H=10$$

Uwaga: trójkąt równoramienny to przekrój osiowy stożka, a nie walca.

Odpowiedź: D. prostokątem $6\times10$.

Krok 1 — podstawa:

$$P_p=\pi r^2=25\pi$$

Krok 2 — powierzchnia boczna:

$$P_b=\pi r l=\pi\cdot5\cdot13=65\pi$$

Krok 3 — razem:

$$P=25\pi+65\pi=90\pi$$

Odpowiedź: $90\pi$.

Krok 1 — podstawiamy do wzoru:

$$\frac43\pi r^3=\frac{500}{3}\pi$$

Krok 2 — dzielimy przez $\pi$ i mnożymy przez $3$:

$$4r^3=500 \quad\Rightarrow\quad r^3=125$$

Krok 3 — pierwiastek sześcienny:

$$r=5$$

Odpowiedź: $r=5$.

Objętość zależy od sześcianu promienia:

$$V_{\text{nowe}}=\frac43\pi(2r)^3=\frac43\pi\cdot8r^3=8V$$

Dla porównania: pole powierzchni ($4\pi r^2$) wzrośnie tylko czterokrotnie.

Odpowiedź: B. wzrośnie ośmiokrotnie.

Krok 1 — jaka bryła. Obrót prostokąta wokół boku daje walec.

Krok 2 — wymiary. Oś obrotu (bok $8$) staje się wysokością, a drugi bok — promieniem:

$$r=3,\qquad H=8$$

Krok 3 — objętość:

$$V=\pi\cdot9\cdot8=72\pi$$

Odpowiedź: walec o objętości $72\pi$.

Powierzchnia boczna stożka to wycinek koła o promieniu równym tworzącej:

$$P_b=\pi r l$$

Uwaga: we wzorze występuje tworząca $l$, a nie wysokość $H$. To najczęstsza pomyłka — $2\pi r H$ to pole boczne walca.

Odpowiedź: C. $\pi r l$.

Krok 1 — podstawiamy do wzoru:

$$\pi r^2\cdot4=64\pi$$

Krok 2 — dzielimy przez $4\pi$:

$$r^2=16$$

Krok 3 — pierwiastkujemy (promień jest dodatni):

$$r=4$$

Odpowiedź: $r=4$.

Krok 1 — jaka bryła. Obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej daje stożek.

Krok 2 — wymiary. Oś obrotu staje się wysokością, druga przyprostokątna — promieniem:

$$H=8,\qquad r=6$$

Krok 3 — objętość:

$$V=\frac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi$$

Uwaga: obrót wokół drugiej przyprostokątnej dałby inną bryłę — $r=8$, $H=6$, a więc $V=128\pi$. Kierunek obrotu ma znaczenie.

Odpowiedź: $96\pi$.

Kula wpisana dotyka obu podstaw, więc $H=2r$:

$$V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3,\qquad V_{\text{kuli}}=\frac43\pi r^3$$

$$\frac{V_{\text{kuli}}}{V_{\text{walca}}}=\frac{4/3}{2}=\frac23$$

To odkrycie Archimedesa — kazał wyryć ten wynik na swoim nagrobku.

Odpowiedź: A. $\frac23$.

Z twierdzenia Pitagorasa, gdzie tworząca jest przeciwprostokątną:

$$H=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$$

Rozpoznanie: trójka $8$–$15$–$17$.

Odpowiedź: $H=15$.

W przekroju osiowym podstawą trójkąta jest średnica ($2r$), a ramionami — dwie tworzące.

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równe, więc:

$$l=2r$$

Konsekwencja: wysokość takiego stożka wynosi $H=\sqrt{4r^2-r^2}=r\sqrt3$.

Odpowiedź: B. $l=2r$.

Krok 1 — tworząca:

$$l=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\pi\cdot81\cdot12=324\pi$$

Krok 3 — pole powierzchni:

$$P=\pi r^2+\pi r l=81\pi+\pi\cdot9\cdot15=81\pi+135\pi=216\pi$$

Rozpoznanie: trójka $9$–$12$–$15$, czyli $3$–$4$–$5$ pomnożona przez $3$.

Odpowiedź: $l=15$, $V=324\pi$, $P=216\pi$.

Krok 1 — poziom wody:

$$h=\frac{12}{2}=6\ \text{dm}$$

Krok 2 — objętość wody:

$$V=\pi\cdot25\cdot6=150\pi\approx471\ \text{dm}^3$$

Krok 3 — zamiana na litry. $1$ dm$^3=1$ litr, więc:

$$V\approx471\ \text{litrów}$$

Uwaga: woda wypełnia dokładnie połowę walca — objętość jest wprost proporcjonalna do wysokości słupa cieczy.

Odpowiedź: około $471$ litrów.

Krok 1 — kluczowa obserwacja. Przetapianie nie zmienia objętości materiału.

Krok 2 — objętość kuli:

$$V=\frac43\pi\cdot216=288\pi$$

Krok 3 — przyrównujemy do objętości walca:

$$\pi\cdot36\cdot H=288\pi$$

Krok 4 — wyznaczamy wysokość:

$$H=\frac{288}{36}=8$$

Kontrola sensu: średnica kuli wynosi $12$, a walec o tym samym promieniu wyszedł niższy ($8$) — to zgadza się z faktem, że kula wypełnia tylko $\frac23$ opisanego na niej walca ✔

Odpowiedź: $H=8$.