$$V=\pi r^2 h$$

Odpowiedź: B. $\pi r^2 h$.

$$V=\pi\cdot3^2\cdot5=\pi\cdot9\cdot5=45\pi$$

Odpowiedź: $45\pi$.

Stożek ma trzy razy mniejszą objętość niż walec o tej samej podstawie i wysokości:

$$V=\frac13\pi r^2 h$$

Odpowiedź: C. $\frac13\pi r^2 h$.

$$V=\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=\frac13\pi\cdot36=12\pi$$

Odpowiedź: $12\pi$.

$$V=\frac43\pi r^3$$

Odpowiedź: D. $\frac43\pi r^3$.

$$V=\frac43\pi\cdot3^3=\frac43\pi\cdot27=36\pi$$

Odpowiedź: $36\pi$.

$$P=4\pi r^2$$

Odpowiedź: A. $4\pi r^2$.

$$P=4\pi\cdot5^2=4\pi\cdot25=100\pi$$

Odpowiedź: $100\pi$.

$$P_b=2\pi\cdot2\cdot7=28\pi$$

Odpowiedź: $28\pi$.

Krok 1 — dwie podstawy (koła):

$$2\pi r^2=2\pi\cdot9=18\pi$$

Krok 2 — powierzchnia boczna:

$$2\pi r h=2\pi\cdot3\cdot4=24\pi$$

Krok 3 — suma:

$$P_c=18\pi+24\pi=42\pi$$

Odpowiedź: $42\pi$.

Obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej daje stożek (obrót prostokąta → walec, obrót półkola → kula).

Odpowiedź: B. trójkąta prostokątnego.

Z wzoru $V=\pi r^2 h$:

$$50\pi=\pi\cdot25\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{50\pi}{25\pi}=2$$

Odpowiedź: $h=2$.

Z wzoru $V=\frac43\pi r^3$:

$$\frac43\pi r^3=\frac{32}{3}\pi \quad\Rightarrow\quad r^3=\frac{32}{3}\cdot\frac{3}{4}=8$$

$$r=\sqrt[3]{8}=2$$

Odpowiedź: $r=2$.

$V_{\text{stożek}}=\frac13\pi r^2h$, $V_{\text{walec}}=\pi r^2h$ — stosunek $\frac13$.

Odpowiedź: C. $\frac13$ walca.

Krok 1 — tworząca to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $r=6$ i $h=8$:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$

Odpowiedź: tworząca $l=10$.

$$V=\pi\cdot1^2\cdot1=\pi$$

Odpowiedź: A. $\pi$.

Krok 1 — objętość:

$$V=\pi\cdot0{,}5^2\cdot2=\pi\cdot0{,}25\cdot2=0{,}5\pi\approx1{,}57\ \text{m}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry:

$$1{,}57\ \text{m}^3=1570\ \text{l}$$

Odpowiedź: około $1570$ litrów.

Krok 1 — wysokość z twierdzenia Pitagorasa ($l^2=r^2+h^2$):

$$h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\pi\cdot5^2\cdot12=\frac13\pi\cdot25\cdot12=100\pi$$

Odpowiedź: $100\pi$.

Krok 1 — przekrój przez środek to koło wielkie o promieniu równym promieniowi kuli ($r=6$).

Krok 2 — pole koła:

$$P=\pi\cdot6^2=36\pi$$

Odpowiedź: $36\pi$.

Krok 1 — objętość dla promienia $r$:

$$V=\frac43\pi r^3$$

Krok 2 — objętość dla promienia $2r$:

$$V'=\frac43\pi(2r)^3=\frac43\pi\cdot8r^3=8\cdot\frac43\pi r^3=8V$$

Krok 3 — wniosek. $V'=8V$ — objętość rośnie ośmiokrotnie. $\quad∎$

Dlaczego. Objętość zależy od trzeciej potęgi promienia, a $2^3=8$. Sprawdzenie: $r=1\to V=\frac43\pi$; $r=2\to V=\frac{32}{3}\pi=8\cdot\frac43\pi$ ✔