Warunek zbieżności dotyczy modułu ilorazu:

$$|q|<1$$

Odpowiedź: B. $|q|<1$.

Krok 1 — iloraz: $q=\frac12$, $|q|<1$ ✔

Krok 2 — wzór na sumę szeregu:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\frac12}=\frac{8}{\frac12}=16$$

Odpowiedź: $S=16$.

Gdy $n$ rośnie nieograniczenie, $\frac1n$ maleje do zera:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

Odpowiedź: $0$.

Iloraz $q=\frac13$:

$$S=\frac{1}{1-\frac13}=\frac{1}{\frac23}=\frac32$$

Odpowiedź: C. $\frac32$.

Rozdzielamy ułamek:

$$\frac{3n+1}{n}=3+\frac{1}{n}\to3+0=3$$

Odpowiedź: $3$.

Dla $q=1$ warunek $|q|<1$ nie jest spełniony — szereg jest rozbieżny (sumy częściowe rosną bez ograniczeń).

Odpowiedź: A. rozbieżny.

Krok 1 — iloraz:

$$q=\frac{-3}{9}=-\frac13,\qquad |q|=\frac13<1 \ ✔$$

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S=\frac{9}{1-(-\frac13)}=\frac{9}{\frac43}=9\cdot\frac34=\frac{27}{4}$$

Uwaga: iloraz ujemny — w mianowniku $1-q=1+\frac13$.

Odpowiedź: $S=\frac{27}{4}=6{,}75$.

Rozdzielamy ułamek:

$$\frac{2n^2+1}{n^2}=2+\frac{1}{n^2}\to2+0=2$$

Odpowiedź: $2$.

$$S=\frac{5}{1-\frac12}=\frac{5}{\frac12}=10$$

Odpowiedź: D. $10$.

Krok 1 — dzielimy przez $n$:

$$\frac{n+2}{2n-1}=\frac{1+\frac{2}{n}}{2-\frac{1}{n}}$$

Krok 2 — granica:

$$\frac{1+0}{2-0}=\frac12$$

Reguła: dla ilorazu wielomianów tego samego stopnia granica to iloraz współczynników wiodących.

Odpowiedź: $\frac12$.

$$S=\frac{\frac12}{1-\frac12}=\frac{\frac12}{\frac12}=1$$

Interpretacja: słynny szereg — sumy częściowe zbliżają się do $1$, nigdy go nie przekraczając.

Odpowiedź: B. $1$.

Warunek zbieżności to $|q|<1$:

$$|x|<1 \quad\Rightarrow\quad -1

$$x\in(-1,\ 1)$$

Odpowiedź: $x\in(-1,\ 1)$.

Krok 1 — zapis jako szereg:

$$0{,}(3)=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\dots$$

Krok 2 — parametry: $a_1=\frac{3}{10}$, $q=\frac{1}{10}$.

Krok 3 — suma:

$$S=\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac13$$

Wniosek: $0{,}(3)=\frac13$ — potwierdza znaną zamianę ułamka okresowego.

Odpowiedź: $\frac13$.

Potęga liczby z przedziału $(0,1)$ maleje do zera:

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac12\right)^n=0$$

Ogólnie: $\lim q^n=0$ dla $|q|<1$.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — wzór na sumę:

$$\frac{a_1}{1-q}=12 \quad\Rightarrow\quad \frac{8}{1-q}=12$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$8=12(1-q) \quad\Rightarrow\quad 1-q=\frac23 \quad\Rightarrow\quad q=\frac13$$

Krok 3 — sprawdzamy zbieżność: $|q|=\frac13<1$ ✔

Odpowiedź: $q=\frac13$.

Mianownik rośnie do nieskończoności, więc ułamek dąży do zera:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n^2}=0$$

Odpowiedź: C. $0$.

Krok 1 — dzielimy przez najwyższą potęgę $n^2$:

$$\frac{n^2-3n}{2n^2+1}=\frac{1-\frac{3}{n}}{2+\frac{1}{n^2}}$$

Krok 2 — granica. Składniki $\frac{3}{n}$ i $\frac{1}{n^2}$ dążą do zera:

$$\frac{1-0}{2+0}=\frac12$$

Reguła. Dla ilorazu wielomianów tego samego stopnia granica to stosunek współczynników wiodących ($\frac{1}{2}$).

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — pierwszy spadek: $3$ m.

Krok 2 — kolejne odbicia. Każde wzniesienie na wysokość $h$ to droga $2h$ (w górę i w dół). Wysokości odbić tworzą szereg geometryczny:

$$a_1=2,\quad q=\frac23$$

Krok 3 — suma wysokości odbić (×2):

$$S_{\text{odbicia}}=\frac{2}{1-\frac23}=\frac{2}{\frac13}=6\ \text{m}$$

Krok 4 — droga całkowita:

$$3+6=9\ \text{m}$$

Uwaga. Pierwszy spadek liczymy raz, każde odbicie podwójnie — stąd $a_1=2\cdot(3\cdot\frac23)=4$? Sprawdźmy: pierwsze wzniesienie to $3\cdot\frac23=2$ m, droga w górę i w dół to $4$ m... — przyjmujemy sumę dróg odbić jako $2\cdot\frac{2}{1-\frac23}=2\cdot6=12$? Uporządkujmy w kroku końcowym.

Poprawny rachunek. Wysokości odbić: $2, \frac43, \dots$, suma $=\frac{2}{1-\frac23}=6$. Każdą przebywa dwukrotnie: $2\cdot6=12$. Z pierwszym spadkiem: $3+12=15$ m.

Odpowiedź: $15$ m.

Krok 1 — rozdzielamy ułamek:

$$\frac{2^n+1}{2^n}=1+\frac{1}{2^n}$$

Krok 2 — granica. Składnik $\frac{1}{2^n}$ dąży do zera (bo $2^n\to\infty$):

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\fra