$$\frac{6+9+12+13}{4}=\frac{40}{4}=10$$

Odpowiedź: B. $10$.

Dane są już uporządkowane rosnąco.

Mediana — pięć elementów, więc wyraz trzeci:

$$7$$

Dominanta — wartość najczęstsza, tu również $7$ (dwa razy).

Odpowiedź: mediana $7$, dominanta $7$.

$$\bar{x}=\frac{3\cdot1+4\cdot2+5\cdot3}{1+2+3}=\frac{3+8+15}{6}=\frac{26}{6}\approx4{,}33$$

Zwykła średnia dałaby $4$ — waga $3$ przy najwyższej ocenie podnosi wynik.

Odpowiedź: około $4{,}33$.

Sześć elementów — liczba parzysta, więc mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\frac{8+12}{2}=10$$

Odpowiedź: C. $10$.

Rozstęp to różnica wartości największej i najmniejszej:

$$19-5=14$$

Odpowiedź: $14$.

Odchylenie standardowe mówi, jak daleko przeciętnie leżą dane od średniej.

Pozostałe odpowiedzi opisują kolejno: medianę, dominantę i rozstęp.

Interpretacja: małe odchylenie oznacza dane skupione wokół średniej, duże — rozrzucone.

Odpowiedź: A. przeciętne rozproszenie danych wokół średniej.

Krok 1 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{2+4+4+6}{4}=4$$

Krok 2 — odchylenia od średniej i ich kwadraty:

$$(-2)^2=4,\quad 0^2=0,\quad 0^2=0,\quad 2^2=4$$

Krok 3 — wariancja (średnia kwadratów odchyleń):

$$\sigma^2=\frac{4+0+0+4}{4}=2$$

Krok 4 — odchylenie standardowe:

$$\sigma=\sqrt2\approx1{,}41$$

Odpowiedź: $\sqrt2\approx1{,}41$.

Krok 1 — sumy wzrostów:

$$20\cdot170=3400\ \text{cm},\qquad 30\cdot180=5400\ \text{cm}$$

Krok 2 — średnia ważona:

$$\bar{x}=\frac{3400+5400}{50}=\frac{8800}{50}=176\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: wynik leży między $170$ a $180$, bliżej $180$ — bo ta grupa jest liczniejsza ✔ Zwykła średnia dałaby $175$ cm, czyli za mało.

Odpowiedź: $176$ cm.

Przed: średnia $4$, mediana $4$.

Po: średnia $\frac{112}{4}=28$, mediana $\frac{4+6}{2}=5$.

Średnia skoczyła siedmiokrotnie, mediana przesunęła się o $1$.

Wniosek: średnia jest wrażliwa na wartości odstające, mediana — odporna.

Odpowiedź: D. średnia.

Krok 1 — suma ośmiu liczb:

$$8\cdot15=120$$

Krok 2 — suma siedmiu:

$$7\cdot16=112$$

Krok 3 — usunięta liczba:

$$120-112=8$$

Kontrola sensu: średnia wzrosła po usunięciu, więc usunięta liczba musiała być mniejsza od średniej — i faktycznie $8<15$ ✔

Odpowiedź: $8$.

Każda dana jest równa średniej, więc wszystkie odchylenia wynoszą zero:

$$\sigma=\sqrt{0}=0$$

Interpretacja: brak rozproszenia — dane są idealnie skupione. To jedyny przypadek, gdy odchylenie wynosi zero.

Odpowiedź: B. $0$.

Korzystamy ze średniej ważonej liczebnościami:

$$\bar{x}=\frac{2\cdot3+5\cdot4+9\cdot3}{3+4+3}=\frac{6+20+27}{10}=\frac{53}{10}=5{,}3$$

Odpowiedź: $5{,}3$.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco:

$$3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15$$

Krok 2 — środkowy wyraz. Elementów jest $7$, więc mediana to czwarty wyraz:

$$9$$

Uwaga: bez uporządkowania danych mediana wyszłaby błędna — w oryginalnej kolejności czwartym wyrazem było $15$.

Odpowiedź: $9$.

Dodanie stałej przesuwa cały zestaw, ale nie zmienia odległości między danymi.

Przykład: dla $2$, $4$, $6$ średnia to $4$. Po dodaniu $5$ mamy $7$, $9$, $11$ — średnia $9$, a rozrzut identyczny.

Dla porównania: pomnożenie wszystkich danych przez $k$ mnoży zarówno średnią, jak i odchylenie przez $|k|$.

Odpowiedź: A. średnia wzrośnie o $5$, odchylenie się nie zmieni.

Krok 1 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{1+3+5+7}{4}=4$$

Krok 2 — kwadraty odchyleń:

$$(-3)^2=9,\quad (-1)^2=1,\quad 1^2=1,\quad 3^2=9$$

Krok 3 — wariancja:

$$\sigma^2=\frac{9+1+1+9}{4}=\frac{20}{4}=5$$

Krok 4 — odchylenie standardowe:

$$\sigma=\sqrt5\approx2{,}24$$

Odpowiedź: wariancja $5$, odchylenie $\sqrt5\approx2{,}24$.

Odchylenie rośnie wraz z rozproszeniem danych.

Zestaw A ma odchylenie $0$ (wszystkie równe), B jest ciasno skupiony wokół $10$, a C rozrzucony od $1$ do $19$.

Wskazówka: nie trzeba liczyć — wystarczy porównać rozrzut. Rozstęp zestawu C wynosi $18$, a B tylko $2$.

Odpowiedź: C. $1$, $5$, $15$, $19$.

Krok 1 — wagi. Nie musimy znać liczby uczniów — wystarczą udziały $0{,}6$ i $0{,}4$.

Krok 2 — średnia ważona:

$$\bar{x}=0{,}6\cdot80+0{,}4\cdot55=48+22=70\ \text{punktów}$$

Kontrola: wynik leży między $55$ a $80$, bliżej $80$ — bo ta grupa jest większa ✔ Zwykła średnia dałaby $67{,}5$.

Odpowiedź: $70$ punktów.