$$\bar{x}=\frac{4+6+8}{3}=\frac{18}{3}=6$$

Odpowiedź: B. $6$.

$$\bar{x}=\frac{10+12+14+20}{4}=\frac{56}{4}=14$$

Odpowiedź: $14$.

Mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu danych rosnąco.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — porządkujemy: $2,3,5,7,9$.

Krok 2 — środkowy element (jest $5$ liczb, środkowy to trzeci):

$$\text{Me}=5$$

Odpowiedź: $5$.

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Liczba $3$ pojawia się trzy razy.

Odpowiedź: A. $3$.

Krok 1 — dane są uporządkowane, elementów jest $4$ (parzyście).

Krok 2 — mediana to średnia dwóch środkowych ($8$ i $10$):

$$\text{Me}=\frac{8+10}{2}=9$$

Odpowiedź: $9$.

Przekształcamy wzór na średnią:

$$\bar{x}=\frac{\text{suma}}{n} \quad\Rightarrow\quad \text{suma}=\bar{x}\cdot n$$

$$\text{suma}=15\cdot4=60$$

Odpowiedź: $60$.

Średnia:

$$\bar{x}=\frac{3+4+4+5+4}{5}=\frac{20}{5}=4$$

Dominanta: ocena $4$ występuje najczęściej (trzy razy).

Odpowiedź: średnia $4$, dominanta $4$.

Średnia ważona: $\bar{x}=\frac{\sum x_i w_i}{\sum w_i}$ — każdą wartość mnożymy przez jej wagę.

Odpowiedź: D.

Krok 1 — suma ocen (wartość × liczność):

$$2\cdot6+3\cdot5+5\cdot3=12+15+15=42$$

Krok 2 — liczba osób: $2+3+5=10$.

Krok 3 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{42}{10}=4{,}2$$

Odpowiedź: $4{,}2$.

Rozstęp to różnica największej i najmniejszej wartości:

$$20-5=15$$

Odpowiedź: B. $15$.

Krok 1 — suma wszystkich trzech:

$$8\cdot3=24$$

Krok 2 — odejmujemy znane:

$$24-6-7=11$$

Sprawdzenie: $\frac{6+7+11}{3}=\frac{24}{3}=8$ ✔

Odpowiedź: $11$.

Mediana. Elementów jest $8$ (parzyście), dwa środkowe to czwarty i piąty: $4$ i $7$:

$$\text{Me}=\frac{4+7}{2}=5{,}5$$

Dominanta. Najczęściej występuje $7$ (trzy razy).

Odpowiedź: mediana $5{,}5$, dominanta $7$.

Średnia zbioru identycznych wartości równa jest tej wartości.

Odpowiedź: A. $5$.

Krok 1 — suma wieku przed:

$$22\cdot10=220$$

Krok 2 — suma wieku po (teraz $11$ osób):

$$23\cdot11=253$$

Krok 3 — wiek nowej osoby:

$$253-220=33$$

Odpowiedź: $33$ lata.

Średnia $\frac{2+4+4+100}{4}=27{,}5$ jest mocno zawyżona przez $100$, podczas gdy mediana ($4$) i dominanta ($4$) są odporne na wartości odstające.

Odpowiedź: C. średnia.

Krok 1 — suma ocen z semestru I:

$$4{,}0\cdot8=32$$

Krok 2 — suma ocen z semestru II:

$$5{,}0\cdot12=60$$

Krok 3 — średnia roczna (średnia ważona liczbą ocen):

$$\bar{x}=\frac{32+60}{8+12}=\frac{92}{20}=4{,}6$$

Uwaga. To NIE jest $\frac{4+5}{2}=4{,}5$ — semestry mają różną liczbę ocen, więc liczymy średnią ważoną.

Odpowiedź: $4{,}6$.

Krok 1 — wyznaczamy $x$ ze średniej:

$$\frac{x+5+9+12}{4}=8 \quad\Rightarrow\quad x+26=32 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Krok 2 — porządkujemy zbiór: $5,6,9,12$.

Krok 3 — mediana (średnia dwóch środkowych):

$$\text{Me}=\frac{6+9}{2}=7{,}5$$

Odpowiedź: $x=6$, mediana $7{,}5$.

Krok 1 — liczba danych: $2+5+3=10$.

Krok 2 — średnia (suma wartości × liczność, przez $10$):

$$\bar{x}=\frac{1\cdot2+2\cdot5+3\cdot3}{10}=\frac{2+10+9}{10}=\frac{21}{10}=2{,}1$$

Krok 3 — mediana. Uszeregowane dane: $1,1,2,2,2,2,2,3,3,3$. Środkowe (piąty i szósty) to $2$ i $2$:

$$\text{Me}=\frac{2+2}{2}=2$$

Odpowiedź: średnia $2{,}1$, mediana $2$.

Krok 1 — suma początkowa. Jeśli średnia $n$ liczb to $\bar{x}$, to ich suma wynosi $S=n\bar{x}$.

Krok 2 — dokładamy liczbę $\bar{x}$. Nowa suma:

$$S'=n\bar{x}+\bar{x}=(n+1)\bar{x}$$

Krok 3 — nowa średnia (teraz $n+1$ liczb):

$$\bar{x}'=\frac{(n+1)\bar{x}}{n+1}=\bar{x} \qquad ∎$$

Wniosek. Dołożenie wartości równej średniej nie zmienia średniej — nowa liczba „waży” dokładnie tyle, co przeciętna.