Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów:

$$\bar{x}=\frac{5+8+11+8}{4}=\frac{32}{4}=8$$

Kontrola: średnia leży między najmniejszą ($5$) a największą ($11$) wartością ✔

Odpowiedź: C. $8$.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco:

$$7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 15$$

Krok 2 — liczb jest parzyście ($6$), więc mediana to średnia dwóch środkowych (trzeciej i czwartej):

$$\text{mediana}=\frac{9+10}{2}=9{,}5$$

Uwaga: mediana nie musi być jednym z elementów zestawu.

Odpowiedź: mediana wynosi $9{,}5$.

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Zliczamy:

• $5$ — trzy razy
• $7$ — dwa razy
• $3$ i $9$ — po jednym razie

Najczęściej pojawia się $5$.

Odpowiedź: dominanta wynosi $5$.

Przekształcamy wzór na średnią:

$$\bar{x}=\frac{\text{suma}}{n} \quad\Rightarrow\quad \text{suma}=\bar{x}\cdot n=10\cdot6=60$$

Odpowiedź: B. $60$.

Średnia ważona uwzględnia „wagę” każdej oceny — mnożymy ocenę przez jej wagę:

$$\bar{x}_w=\frac{\sum(\text{ocena}\cdot\text{waga})}{\sum\text{wag}}$$

Krok 1 — licznik:

$$4\cdot3+3\cdot1+5\cdot2=12+3+10=25$$

Krok 2 — suma wag:

$$3+1+2=6$$

Krok 3 — dzielimy:

$$\bar{x}_w=\frac{25}{6}\approx4{,}17$$

Odpowiedź: średnia ważona wynosi $\frac{25}{6}\approx4{,}17$.

Krok 1 — suma wszystkich pięciu liczb:

$$12\cdot5=60$$

Krok 2 — suma czterech znanych:

$$10+14+9+15=48$$

Krok 3 — piąta liczba:

$$60-48=12$$

Sprawdzenie: $\frac{48+12}{5}=\frac{60}{5}=12$ ✔

Odpowiedź: piąta liczba to $12$.

Mediana zależy tylko od środkowej wartości uporządkowanego zestawu, więc pojedyncza wartość bardzo duża lub bardzo mała jej nie zaburza.

Przykład: dla zestawu $2$, $3$, $4$, $5$, $100$ mediana to $4$, ale średnia wynosi $22{,}8$ — wartość $100$ całkowicie zaburza średnią.

Odpowiedź: A. mediana.

Rozstęp to różnica między wartością największą a najmniejszą:

$$R=x_{max}-x_{min}$$

W zestawie największą liczbą jest $22$, a najmniejszą $6$:

$$R=22-6=16$$

Odpowiedź: rozstęp wynosi $16$.

Krok 1 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{2+4+4+6}{4}=\frac{16}{4}=4$$

Krok 2 — odchylenia od średniej i ich kwadraty:

$$(2-4)^2=4,\quad (4-4)^2=0,\quad (4-4)^2=0,\quad (6-4)^2=4$$

Krok 3 — wariancja (średnia kwadratów odchyleń):

$$\sigma^2=\frac{4+0+0+4}{4}=\frac{8}{4}=2$$

Krok 4 — odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

$$\sigma=\sqrt{2}\approx1{,}41$$

Odpowiedź: $\sigma=\sqrt2\approx1{,}41$.

Dodanie liczby równej dotychczasowej średniej nie zmienia średniej.

Uzasadnienie: jeśli suma $n$ liczb to $20n$, to po dodaniu $20$ mamy sumę $20n+20=20(n+1)$ i $n+1$ liczb, więc nowa średnia to $\frac{20(n+1)}{n+1}=20$.

Reguła: liczba większa od średniej ją podnosi, mniejsza obniża, równa — pozostawia bez zmian.

Odpowiedź: D. nie zmieni się.

Liczymy średnią ważoną — każdą wartość mnożymy przez jej liczebność.

Krok 1 — suma (liczba rodzeństwa razem):

$$0\cdot5+1\cdot8+2\cdot4+3\cdot3=0+8+8+9=25$$

Krok 2 — liczba uczniów:

$$5+8+4+3=20$$

Krok 3 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{25}{20}=1{,}25$$

Odpowiedź: średnio $1{,}25$ rodzeństwa na ucznia.

Dominanta. Najwięcej uczniów ($8$) ma $1$ rodzeństwo, więc:

$$\text{dominanta}=1$$

Mediana. Uczniów jest $20$, więc mediana to średnia $10$. i $11$. wartości w uporządkowanym ciągu. Wypisujemy narastająco liczebności:

• pozycje $1$–$5$: wartość $0$
• pozycje $6$–$13$: wartość $1$

Zarówno $10$., jak i $11$. pozycja to $1$, więc:

$$\text{mediana}=\frac{1+1}{2}=1$$

Odpowiedź: dominanta $1$, mediana $1$.

Odchylenie standardowe mierzy rozproszenie danych wokół średniej. Zero oznacza brak rozproszenia — każda liczba jest równa średniej, czyli wszystkie są takie same.

Uzasadnienie: $\sigma=0$ wymaga, by każdy kwadrat odchylenia $(x_i-\bar{x})^2$ był zerem, a to znaczy $x_i=\bar{x}$ dla wszystkich elementów.

Odpowiedź: B. wszystkie liczby są jednakowe.

Krok 1 — suma wieku przed zmianą:

$$30\cdot8=240$$

Krok 2 — nowa suma:

$$240+57=297$$

Krok 3 — nowa średnia dla $9$ osób:

$$\frac{297}{9}=33$$

Kontrola sensu: dołączyła osoba starsza od średniej, więc średnia wzrosła ✔

Odpowiedź: nowy średni wiek to $33$ lata.

Uwaga: grupy mają różną liczebność, więc nie uśredniamy wprost $170$ i $175$.

Krok 1 — suma wzrostu w każdej grupie:

$$170\cdot12=2040,\qquad 175\cdot8=1400$$

Krok 2 — suma łączna i liczba osób:

$$2040+1400=3440,\qquad 12+8=20$$

Krok 3 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{3440}{20}=172\ \text{cm}$$

Kontrola: wynik $172$ jest bliżej $170$ niż $175$, bo pierwsza grupa jest liczniejsza ✔ (zwykła średnia dałaby błędne $172{,}5$).

Odpowiedź: średni wzrost to $172$ cm.

Zestaw ma $5$ elementów, więc mediana to element środkowy — trzeci w kolejności. Tutaj to $8$, co zgadza się z warunkiem.

Warunek na $x$: ciąg ma być uporządkowany rosnąco, więc $x$ musi leżeć między poprzednikiem $3$ a następnikiem $8$:

$$3\le x\le 8$$

Dowolna taka wartość zachowuje $8$ na trzeciej pozycji. Nie da się wyznaczyć $x$ jednoznacznie.

Odpowiedź: C. $3\le x\le 8$.

Reguła: gdy do każdej wartości dodamy tę samą liczbę, średnia rośnie o tę samą liczbę.

$$\bar{x}_{nowa}=62+3=65$$

Uzasadnienie: suma rośnie o $25\cdot3=75$, więc nowa średnia to $\frac{62\cdot25+75}{25}=62+3=65$.

Warto wiedzieć: takie przesunięcie nie zmienia odchylenia standardowego — rozproszenie danych pozostaje takie samo.

Odpowiedź: nowa średnia to $65$ punktów.