Pochodna sumy to suma pochodnych:

$$(f+g)'=f'+g'$$

Odpowiedź: B. $f'(x)+g'(x)$.

$$f'(x)=2x+3,\qquad g'(x)=5$$

$$(f+g)'(x)=2x+3+5=2x+8$$

Odpowiedź: $(f+g)'(x)=2x+8$.

Wzór na pochodną iloczynu:

$$(f\cdot g)'=f'g+fg'$$

Uwaga: to NIE jest iloczyn pochodnych — trzeba użyć pełnego wzoru.

Odpowiedź: C. $f'g+fg'$.

Stosujemy wzór na pochodną iloczynu, gdzie $(\sin x)'=\cos x$:

$$f'(x)=1\cdot\sin x+x\cdot\cos x=\sin x+x\cos x$$

Odpowiedź: $f'(x)=\sin x+x\cos x$.

Reguła łańcuchowa: pochodna funkcji zewnętrznej (w punkcie funkcji wewnętrznej) razy pochodna funkcji wewnętrznej:

$$\bigl[f(g(x))\bigr]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Odpowiedź: A. $f'(g(x))\cdot g'(x)$.

Krok 1 — funkcja zewnętrzna $u^3$, wewnętrzna $u=2x+1$.

Krok 2 — stosujemy regułę łańcuchową:

$$f'(x)=3(2x+1)^2\cdot(2x+1)'=3(2x+1)^2\cdot2$$

Krok 3 — porządkujemy:

$$f'(x)=6(2x+1)^2$$

Uwaga: nie zapomnij o pochodnej „wnętrza" ($2$) — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: $f'(x)=6(2x+1)^2$.

Krok 1 — zewnętrzna $u^5$, wewnętrzna $u=x^2+1$.

Krok 2 — reguła łańcuchowa:

$$f'(x)=5\left(x^2+1\right)^4\cdot\left(x^2+1\right)'$$

Krok 3 — pochodna wnętrza to $2x$:

$$f'(x)=5\left(x^2+1\right)^4\cdot2x=10x\left(x^2+1\right)^4$$

Odpowiedź: $f'(x)=10x\left(x^2+1\right)^4$.

Stałą wyłączamy przed pochodną:

$$(c\cdot g)'=c\cdot g'$$

Odpowiedź: D. $c\cdot g'(x)$.

Krok 1 — zewnętrzna $\sin u$, wewnętrzna $u=3x$.

Krok 2 — reguła łańcuchowa (pamiętając $(\sin u)'=\cos u$):

$$f'(x)=\cos(3x)\cdot(3x)'=\cos(3x)\cdot3$$

Krok 3 — wynik:

$$f'(x)=3\cos(3x)$$

Odpowiedź: $f'(x)=3\cos(3x)$.

Sposób 1 — wzór na pochodną iloczynu:

$$f'(x)=1\cdot(x-3)+(x+1)\cdot1=x-3+x+1=2x-2$$

Sposób 2 — najpierw wymnożenie:

$$f(x)=x^2-2x-3 \quad\Rightarrow\quad f'(x)=2x-2$$

Oba dają ten sam wynik ✔

Wniosek: dla prostych iloczynów wymnożenie bywa szybsze niż wzór.

Odpowiedź: $f'(x)=2x-2$.

Reguła łańcuchowa:

$$f'(x)=4(5x-2)^3\cdot5=20(5x-2)^3$$

Odpowiedź: B. $20(5x-2)^3$.

Krok 1 — zewnętrzna $\cos u$, wewnętrzna $u=x^2$.

Krok 2 — reguła łańcuchowa (z $(\cos u)'=-\sin u$):

$$f'(x)=-\sin\left(x^2\right)\cdot\left(x^2\right)'=-\sin\left(x^2\right)\cdot2x$$

Krok 3 — porządkujemy:

$$f'(x)=-2x\sin\left(x^2\right)$$

Uwaga: $\cos(x^2)$ to funkcja złożona, nie mylić z $\cos^2 x=(\cos x)^2$.

Odpowiedź: $f'(x)=-2x\sin\left(x^2\right)$.

Wzór na pochodną iloczynu:

$$f'(x)=(x^2)'\cos x+x^2(\cos x)'$$

$$f'(x)=2x\cos x+x^2\cdot(-\sin x)$$

$$f'(x)=2x\cos x-x^2\sin x$$

Odpowiedź: $f'(x)=2x\cos x-x^2\sin x$.

To funkcja złożona: zewnętrzna $u^2$, wewnętrzna $u=\sin x$:

$$f'(x)=2\sin x\cdot(\sin x)'=2\sin x\cos x$$

Ciekawostka: $2\sin x\cos x=\sin2x$, więc $\left(\sin^2 x\right)'=\sin2x$.

Odpowiedź: A. $2\sin x\cos x$.

Krok 1 — reguła łańcuchowa:

$$f'(x)=2\left(3x^2-1\right)\cdot\left(3x^2-1\right)'$$

Krok 2 — pochodna wnętrza to $6x$:

$$f'(x)=2\left(3x^2-1\right)\cdot6x=12x\left(3x^2-1\right)$$

Krok 3 — rozwijamy (opcjonalnie):

$$f'(x)=36x^3-12x$$

Sprawdzenie: $f(x)=9x^4-6x^2+1$, $f'(x)=36x^3-12x$ ✔

Odpowiedź: $f'(x)=12x\left(3x^2-1\right)=36x^3-12x$.

Różniczkujemy wyraz po wyrazie:

$$f'(x)=12x^3-4x$$

Uwaga: pochodna stałej $7$ to $0$ — nie przepisujemy jej do wyniku.

Odpowiedź: C. $12x^3-4x$.

Krok 1 — reguła łańcuchowa:

$$f'(x)=3\left(x^2+2x\right)^2\cdot\left(x^2+2x\right)'$$

Krok 2 — pochodna wnętrza to $2x+2$:

$$f'(x)=3\left(x^2+2x\right)^2(2x+2)$$

Krok 3 — wartość w $x=1$. Najpierw wnętrze: $1^2+2\cdot1=3$, a $2\cdot1+2=4$:

$$f'(1)=3\cdot3^2\cdot4=3\cdot9\cdot4=108$$

Odpowiedź: $f'(x)=3\left(x^2+2x\right)^2(2x+2)$, $f'(1)=108$.

Krok 1 — punkt styczności:

$$f(3)=(3-1)^2=4 \quad\Rightarrow\quad P=(3,\ 4)$$

Krok 2 — pochodna regułą łańcuchową:

$$f'(x)=2(x-1)\cdot1=2(x-1)$$

Krok 3 — współczynnik kierunkowy:

$$f'(3)=2\cdot2=4$$

Krok 4 — równanie stycznej:

$$y=4(x-3)+4=4x-8$$

Sprawdzenie: dla $x=3$: $y=4$ ✔

Odpowiedź: $y=4x-8$.