Wzór $(x^n)'=n x^{n-1}$:

$$(x^3)'=3x^{2}$$

Odpowiedź: B. $3x^2$.

$$f'(x)=5x^{4}$$

Odpowiedź: $5x^4$.

Pochodna stałej jest równa zeru:

$$(7)'=0$$

Odpowiedź: A. $0$.

Pochodna funkcji liniowej to jej współczynnik kierunkowy:

$$f'(x)=4$$

Odpowiedź: $4$.

Różniczkujemy każdy składnik osobno:

$$f'(x)=2x+3$$

Uwaga: pochodna wyrazu wolnego $-5$ to $0$.

Odpowiedź: $f'(x)=2x+3$.

Stały czynnik zostaje: $(2x^3)'=2\cdot3x^2=6x^2$.

Odpowiedź: C. $6x^2$.

$$f'(x)=3x^2-12x$$

Odpowiedź: $3x^2-12x$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=2x$$

Krok 2 — wartość w punkcie:

$$f'(3)=2\cdot3=6$$

Odpowiedź: $f'(3)=6$.

Pochodna sumy to suma pochodnych:

$$(f+g)'=f'+g'$$

Odpowiedź: D. $f'+g'$.

$$f'(x)=20x^3-4x+7$$

Odpowiedź: $20x^3-4x+7$.

Geometryczna interpretacja pochodnej: $a=f'(x_0)$ to nachylenie stycznej.

Odpowiedź: B. $f'(x_0)$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=3x^2-2$$

Krok 2 — w punkcie $x_0=1$:

$$f'(1)=3-2=1$$

Odpowiedź: $f'(1)=1$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=2x-4$$

Krok 2 — przyrównujemy do zera:

$$2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Interpretacja. W $x=2$ funkcja ma wierzchołek (minimum) — styczna pozioma.

Odpowiedź: $x=2$.

Znak pochodnej wskazuje monotoniczność: $f'(x)>0$ → funkcja rosnąca.

Odpowiedź: A. dodatnia.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=2x-6$$

Krok 2 — miejsce zerowe pochodnej:

$$2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 3 — znak pochodnej. Dla $x<3$: $f'<0$ (malejąca); dla $x>3$: $f'>0$ (rosnąca).

Odpowiedź: malejąca na $(-\infty,3)$, rosnąca na $(3,+\infty)$.

$f'(x)=2x$, więc $f'(0)=0$ (styczna pozioma w wierzchołku).

Odpowiedź: C. $0$.

Krok 1 — punkt styczności: $f(2)=4$, więc $(2,4)$.

Krok 2 — współczynnik kierunkowy: $f'(x)=2x$, $f'(2)=4$.

Krok 3 — równanie stycznej $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$:

$$y=4(x-2)+4=4x-4$$

Sprawdzenie: dla $x=2$: $y=4$ ✔

Odpowiedź: $y=4x-4$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

Krok 2 — miejsca zerowe: $x=-1$ oraz $x=1$.

Krok 3 — znak pochodnej. Parabola $3(x^2-1)$ ramionami w górę: $f'>0$ na $(-\infty,-1)$, $f'<0$ na $(-1,1)$, $f'>0$ na $(1,\infty)$.

Krok 4 — ekstrema. W $x=-1$ zmiana $+\!\to\!-$ → maksimum $f(-1)=-1+3=2$; w $x=1$ zmiana $-\!\to\!+$ → minimum $f(1)=1-3=-2$.

Odpowiedź: maksimum $2$ w $x=-1$, minimum $-2$ w $x=1$.

Krok 1 — prędkość to pochodna drogi po czasie:

$$v(t)=s'(t)=2t+2$$

Krok 2 — w chwili $t=3$:

$$v(3)=2\cdot3+2=8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Interpretacja fizyczna. Pochodna drogi po czasie to prędkość chwilowa.

Odpowiedź: $8\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=3x^2+1$$

Krok 2 — szacujemy znak. Dla każdego $x$ mamy $3x^2\ge0$, więc:

$$f'(x)=3x^2+1\ge1>0$$

Krok 3 — wniosek. Pochodna jest dodatnia w całej dziedzinie, więc funkcja jest rosnąca na $\mathbb{R}$. $\quad∎$

Sprawdzenie: $f(0)=0$, $f(1)=2$, $f(2)=10$ — wartości rosną ✔