Korzystamy ze wzoru $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$:

$$f'(x)=2x^{2-1}=2x$$

Odpowiedź: B. $2x$.

Różniczkujemy wyraz po wyrazie:

$$f'(x)=3x^2-2$$

Uwaga: pochodna wyrazu liniowego $-2x$ to stała $-2$, a pochodna stałej byłaby zerem.

Odpowiedź: $f'(x)=3x^2-2$.

Krok 1 — pochodna: $f'(x)=2x$.

Krok 2 — wartość w $x_0=3$:

$$f'(3)=2\cdot3=6$$

Interpretacja: $f'(3)=6$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x=3$.

Odpowiedź: $6$.

Pochodna w punkcie to nachylenie stycznej do wykresu w tym punkcie:

$$a=f'(x_0)$$

To fundamentalna interpretacja geometryczna pochodnej.

Odpowiedź: C. współczynnik kierunkowy stycznej.

Pochodna funkcji liniowej to jej współczynnik kierunkowy:

$$f'(x)=5$$

Sens: funkcja liniowa ma stałe nachylenie, więc jej pochodna jest stała.

Odpowiedź: $f'(x)=5$.

Funkcja stała się nie zmienia, więc jej pochodna wynosi zero:

$$f'(x)=0$$

Sens: wykres jest poziomy, styczna też pozioma, więc nachylenie zero.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — prędkość to pochodna drogi po czasie:

$$v(t)=s'(t)=2t$$

Krok 2 — wartość w $t=4$:

$$v(4)=2\cdot4=8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Interpretacja fizyczna. Pochodna drogi po czasie to prędkość chwilowa — jak szybko zmienia się położenie w danym momencie.

Odpowiedź: $v(4)=8$ m/s.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=2x-4$$

Krok 2 — wartość w $x_0=1$:

$$f'(1)=2\cdot1-4=-2$$

Interpretacja: styczna w tym punkcie opada — jej współczynnik kierunkowy jest ujemny.

Odpowiedź: $a=-2$.

Współczynnik kierunkowy zero oznacza styczną poziomą (równoległą do osi $OX$).

Znaczenie: w takich punktach funkcja może mieć ekstremum (maksimum lub minimum) — to kandydaci na wierzchołki „górek" i „dolin".

Odpowiedź: D. pozioma.

Krok 1 — punkt styczności:

$$f(2)=4 \quad\Rightarrow\quad P=(2,\ 4)$$

Krok 2 — współczynnik kierunkowy:

$$f'(x)=2x,\qquad f'(2)=4$$

Krok 3 — równanie stycznej $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$:

$$y=4(x-2)+4=4x-4$$

Sprawdzenie: dla $x=2$ styczna daje $y=4$ — zgadza się z punktem styczności ✔

Odpowiedź: $y=4x-4$.

$$f'(x)=4x^{4-1}=4x^3$$

Odpowiedź: B. $4x^3$.

Krok 1 — prędkość jako pochodna:

$$v(t)=s'(t)=2t-3$$

Krok 2 — przyrównujemy do zera:

$$2t-3=0 \quad\Rightarrow\quad t=1{,}5\ \text{s}$$

Interpretacja: w chwili $t=1{,}5$ s ciało zatrzymuje się (zmienia kierunek ruchu) — prędkość chwilowa jest zerowa.

Odpowiedź: $t=1{,}5$ s.

Różniczkujemy każdy wyraz osobno:

$$f'(x)=6x^2-6x+5$$

Rozpisanie: $\left(2x^3\right)'=6x^2$, $\left(-3x^2\right)'=-6x$, $\left(5x\right)'=5$, $(-1)'=0$.

Odpowiedź: $f'(x)=6x^2-6x+5$.

$$f'(x)=2x,\qquad f'(0)=0$$

W wierzchołku paraboli styczna jest pozioma.

Odpowiedź: C. $0$.

Przyspieszenie jako pochodna prędkości:

$$a(t)=v'(t)=6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

Interpretacja. Przyspieszenie jest stałe i wynosi $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ — to ruch jednostajnie przyspieszony. Pochodna „drugiego poziomu" (droga → prędkość → przyspieszenie) opisuje tempo zmiany prędkości.

Odpowiedź: $a=6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Dodatnia pochodna oznacza dodatnie nachylenie stycznych, więc funkcja rośnie.

Pełna reguła: $f'>0$ — rośnie, $f'<0$ — maleje, $f'=0$ w punkcie — możliwe ekstremum.

Odpowiedź: A. rosnąca.

Krok 1 — punkt styczności:

$$f(1)=1 \quad\Rightarrow\quad P=(1,\ 1)$$

Krok 2 — pochodna i jej wartość:

$$f'(x)=3x^2,\qquad f'(1)=3$$

Krok 3 — równanie stycznej:

$$y=f'(1)(x-1)+f(1)=3(x-1)+1=3x-2$$

Sprawdzenie: dla $x=1$ styczna daje $y=1$ ✔

Interpretacja. Styczna „przylega" do krzywej w punkcie $(1,1)$ — lokalnie najlepiej ją przybliża prostą.

Odpowiedź: $y=3x-2$.

Krok 1 — styczna pozioma oznacza $f'(x)=0$:

$$f'(x)=2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 2 — obliczamy wartość funkcji:

$$f(3)=9-18+5=-4$$

Krok 3 — punkt: $(3,\ -4)$.

Interpretacja. To wierzchołek paraboli — najniższy punkt wykresu, gdzie funkcja przechodzi z malejącej w rosnącą. Styczna jest tam pozioma.

Sprawdzenie wzorem na wierzchołek: $x_w=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2}=3$ ✔

Odpowiedź: punkt $(3,\ -4)$.