$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

gdzie $\gamma$ to kąt naprzeciw boku $c$.

Odpowiedź: B.

Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$

Odpowiedź: A.

Krok 1 — twierdzenie cosinusów:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

Krok 2 — podstawiamy ($\cos60^\circ=\frac12$):

$$c^2=36+64-2\cdot6\cdot8\cdot\tfrac12=100-48=52$$

Krok 3 — pierwiastkujemy:

$$c=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

Odpowiedź: $c=2\sqrt{13}$.

Krok 1 — twierdzenie sinusów:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$

Krok 2 — wyznaczamy $b$:

$$b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{10\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=\frac{5\sqrt2}{\frac12}=10\sqrt2$$

Odpowiedź: $b=10\sqrt2$.

Gdy $\gamma=90^\circ$, $\cos90^\circ=0$, więc $c^2=a^2+b^2$ — to twierdzenie Pitagorasa.

Odpowiedź: C. twierdzenia Pitagorasa.

Krok 1 — przekształcamy twierdzenie cosinusów:

$$\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\cos\gamma=\frac{25+49-64}{2\cdot5\cdot7}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$$

Odpowiedź: $\cos\gamma=\frac17$.

$$c^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cdot\cos90^\circ=16+16-0=32$$

$$c=\sqrt{32}=4\sqrt2$$

Odpowiedź: $c=4\sqrt2$.

Wspólny stosunek $\frac{a}{\sin\alpha}=2R$ to średnica okręgu opisanego na trójkącie.

Odpowiedź: D. średnica okręgu opisanego.

Suma kątów w trójkącie to $180^\circ$:

$$\gamma=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$$

Odpowiedź: $\gamma=80^\circ$.

$$P=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\tfrac12=15$$

Odpowiedź: $P=15$.

Twierdzenie cosinusów wiąże trzy boki i jeden kąt — idealne, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi (albo trzy boki).

Odpowiedź: A.

Krok 1 — twierdzenie cosinusów dla boku $a$:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy ($\cos60^\circ=\frac12$):

$$a^2=9+25-2\cdot3\cdot5\cdot\tfrac12=34-15=19$$

$$a=\sqrt{19}$$

Odpowiedź: $a=\sqrt{19}$.

Z twierdzenia sinusów $\frac{a}{\sin\alpha}=2R$:

$$a=2R\sin\alpha=2\cdot5\cdot\sin30^\circ=10\cdot\tfrac12=5$$

Odpowiedź: $a=5$.

Cosinus jest ujemny dla kątów rozwartych ($90^\circ<\gamma<180^\circ$).

Odpowiedź: B. rozwarty.

Krok 1 — najdłuższy bok $a=7$, badamy kąt $\alpha$:

$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+9-49}{2\cdot5\cdot3}=\frac{-15}{30}=-\frac12$$

Krok 2 — interpretacja. $\cos\alpha=-\frac12<0$, więc kąt $\alpha$ jest rozwarty (dokładnie $120^\circ$).

Wniosek. Trójkąt jest rozwartokątny.

$$\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$$

Odpowiedź: C. $-\frac12$.

Krok 1 — model. Boki $a=30$, $b=40$, kąt między nimi $\gamma=60^\circ$; szukamy $c$ (odległość między statkami).

Krok 2 — twierdzenie cosinusów:

$$c^2=30^2+40^2-2\cdot30\cdot40\cdot\cos60^\circ$$

$$c^2=900+1600-2400\cdot\tfrac12=2500-1200=1300$$

Krok 3 — pierwiastkujemy:

$$c=\sqrt{1300}=10\sqrt{13}\approx36{,}1\ \text{km}$$

Odpowiedź: $10\sqrt{13}\approx36{,}1$ km.

Krok 1 — twierdzenie sinusów:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$

Krok 2 — wyznaczamy $b$:

$$b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{8\cdot0{,}966}{0{,}707}\approx\frac{7{,}728}{0{,}707}\approx10{,}9$$

Odpowiedź: $b\approx10{,}9$.

Wzór na pole z dwóch boków i kąta:

$$P=\frac12 ab\sin\gamma=\frac12\cdot5\cdot6\cdot\sin150^\circ$$

$$=15\cdot\tfrac12=7{,}5$$

Uwaga. Choć kąt jest rozwarty, sinus jest dodatni ($\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$), więc pole wychodzi dodatnie.

Odpowiedź: $P=7{,}5$.

Krok 1 — dane. W trójkącie równobocznym wszystkie boki równe $a$, wszystkie kąty $60^\circ$.

Krok 2 — twierdzenie cosinusów dla dowolnego boku:

$$a^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot\cos60^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy $\cos60^\circ=\frac12$:

$$a^2=2a^2-2a^2\cdot\tfrac12=2a^2-a^2=a^2 \qquad ∎$$

Wniosek. Otrzymaliśmy tożsamość $a^2=a^2$ — twierdzenie cosinusów jest spełnione, co potwierdza spójność wzoru dla trójkąta równobocznego.