Skracamy przez $x$:

$$\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$$

Założenie: $x\neq0$, bo mianownik nie może być zerem.

Odpowiedź: B. $\frac{2}{x}$.

Mnożymy liczniki i mianowniki, potem skracamy:

$$\frac{3}{x}\cdot\frac{x}{5}=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: $\frac{3}{5}$.

Mianowniki są równe, więc dodajemy liczniki:

$$\frac{1}{x}+\frac{2}{x}=\frac{3}{x}$$

Odpowiedź: $\frac{3}{x}$.

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:

$$:\frac{a}{b}=\cdot\frac{b}{a}$$

Odpowiedź: C. mnożeniem przez $\frac{b}{a}$.

Mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka:

$$\frac{4}{x}\cdot\frac{x}{2}=\frac{4x}{2x}=2$$

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — rozkładamy licznik:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Krok 2 — skracamy przez $(x-2)$:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$$

Odpowiedź: A. $x+2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — wspólny mianownik $x(x+1)$:

$$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$$

Odpowiedź: $\frac{2x+1}{x(x+1)}$, $D=\mathbb{R}\setminus\{-1,\ 0\}$.

Krok 1 — mnożymy liczniki i mianowniki:

$$\frac{(x+3)\cdot x^2}{x\cdot(x+3)}$$

Krok 2 — skracamy $(x+3)$ i $x$:

$$\frac{x^2}{x}=x$$

Wskazówka: skracaj przed mnożeniem — mniej rachunków.

Odpowiedź: $x$.

Wspólny mianownik to $3x$:

$$\frac{2x}{3x}-\frac{3}{3x}=\frac{2x-3}{3x}$$

Odpowiedź: D. $\frac{2x-3}{3x}$.

Krok 1 — rozkładamy licznik i mianownik:

$$x^2-9=(x-3)(x+3),\qquad x^2+6x+9=(x+3)^2$$

Krok 2 — dziedzina: $(x+3)^2\neq0$, więc $x\neq-3$.

Krok 3 — skracamy przez $(x+3)$:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{x-3}{x+3}$$

Odpowiedź: $\frac{x-3}{x+3}$, $D=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$.

$$\frac{x\cdot4}{2\cdot x^2}=\frac{4x}{2x^2}=\frac{2}{x}$$

Odpowiedź: B. $\frac{2}{x}$.

Krok 1 — mianowniki równe, odejmujemy liczniki:

$$\frac{x-1}{x-1}$$

Krok 2 — skracamy:

$$\frac{x-1}{x-1}=1$$

Uwaga: mimo że wynik to $1$, dziedzina pozostaje $x\neq1$ — wyjściowe wyrażenie nie było określone w tym punkcie.

Odpowiedź: $1$ (dla $x\neq1$).

Krok 1 — mnożymy przez odwrotność:

$$\frac{x^2-1}{x}\cdot\frac{x^2}{x+1}$$

Krok 2 — rozkładamy $x^2-1=(x-1)(x+1)$:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot\frac{x^2}{x+1}$$

Krok 3 — skracamy $(x+1)$ oraz $x$:

$$(x-1)\cdot x=x^2-x$$

Odpowiedź: $x^2-x$.

Odwrotność ułamka to zamiana licznika z mianownikiem:

$$\left(\frac{x+2}{x-3}\right)^{-1}=\frac{x-3}{x+2}$$

Odpowiedź: A. $\frac{x-3}{x+2}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — wspólny mianownik $(x-1)(x+1)$:

$$\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$

Krok 3 — dodajemy liczniki:

$$\frac{2x+2+3x-3}{(x-1)(x+1)}=\frac{5x-1}{x^2-1}$$

Odpowiedź: $\frac{5x-1}{x^2-1}$, $D=\mathbb{R}\setminus\{-1,\ 1\}$.

Wyłączamy $x$ z licznika:

$$\frac{x(x+1)}{x+1}=x$$

Odpowiedź: C. $x$.

Krok 1 — rozkładamy licznik:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Krok 2 — rozkładamy mianownik. Szukamy liczb o iloczynie $-6$ i sumie $-1$: to $-3$ i $2$:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$

Krok 3 — dziedzina. Mianownik zeruje się dla $x=3$ i $x=-2$:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\ 3\}$$

Krok 4 — skracamy przez $(x+2)$:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)}=\frac{x-2}{x-3}$$

Uwaga. Dziedzinę wyznaczamy z pierwotnego mianownika — punkt $x=-2$ pozostaje wykluczony, choć po skróceniu już go nie widać.

Odpowiedź: $\frac{x-2}{x-3}$, $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\ 3\}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$ oraz $x\neq-2$.

Krok 2 — wspólny mianownik $(x-2)(x+2)=x^2-4$:

$$\frac{x+2}{x^2-4}-\frac{x-2}{x^2-4}$$

Krok 3 — odejmujemy liczniki. Uwaga na nawias:

$$\frac{(x+2)-(x-2)}{x^2-4}=\frac{4}{x^2-4}$$

Najczęstszy błąd: pominięcie nawiasu przy odejmowaniu drugiego licznika — dałoby $\frac{4x}{x^2-4}$ zamiast $\frac{4}{x^2-4}$.

Odpowiedź: $\frac{4}{x^2-4}$, $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\ 2\}$.

Krok 1 — sumujemy w nawiasie:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$$

Krok 2 — dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:

$$\frac{x+y}{xy}\cdot\frac{xy}{x+y}$$

Krok 3 — skracamy wszystko:

$$\frac{x+y}{xy}\cdot\frac{xy}{x+y}=1$$

Elegancki wynik. Licznik pierwszego ułamka jest równy mianownikowi drugiego (po odwróceniu), więc wszystko się skraca do $1$.

Odpowiedź: $1$.