Ujemny wykładnik oznacza odwrotność:

$$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac19$$

Uwaga: ujemny wykładnik nie daje wyniku ujemnego — daje ułamek.

Odpowiedź: B. $\frac19$.

Wykładnik wymierny $\frac{m}{n}$ oznacza pierwiastek stopnia $n$ podniesiony do potęgi $m$:

$$8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4$$

Szybciej: $8=2^3$, więc $(2^3)^{\frac23}=2^2=4$.

Odpowiedź: $4$.

Szukamy wykładnika: do której potęgi podnieść $3$, aby otrzymać $81$?

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

Odpowiedź: $4$.

Wykładnik $\frac12$ to pierwiastek kwadratowy:

$$16^{\frac12}=\sqrt{16}=4$$

Pułapka: odpowiedź A ($8$) to wynik dzielenia $16:2$ — potęgowanie to inne działanie.

Odpowiedź: C. $4$.

Sposób 1 — osobno:

$$\log_2 8=3,\qquad \log_2 4=2,\qquad 3+2=5$$

Sposób 2 — wzór na logarytm iloczynu:

$$\log_2(8\cdot4)=\log_2 32=5$$

Odpowiedź: $5$.

Wykładnik $-1$ oznacza odwrotność ułamka:

$$\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$$

Odpowiedź: A. $\frac32$.

Krok 1 — upraszczamy każdy pierwiastek:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — dodajemy (ten sam pierwiastek $\sqrt2$):

$$5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2$$

Odpowiedź: $8\sqrt2$.

Korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:

$$\log_5 100-\log_5 4=\log_5\frac{100}{4}=\log_5 25=2$$

Dlaczego tak: pojedyncze logarytmy nie są liczbami całkowitymi, ale ich iloraz już tak.

Odpowiedź: $2$.

Każda liczba do potęgi zerowej daje $1$:

$$a^0=1 \quad\Rightarrow\quad \log_a 1=0$$

Warto też pamiętać: $\log_a a=1$.

Odpowiedź: D. $0$.

Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt3$:

$$\frac{6}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$

Odpowiedź: $2\sqrt3$.

Pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje także dla liczb ujemnych:

$$(-3)^3=-27 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{-27}=-3$$

Dla porównania: $\sqrt{-27}$ nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych, bo stopień jest parzysty.

Odpowiedź: B. $-3$.

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy — podstawy „skracają się jak ogniwa łańcucha”:

$$\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$$

$$\log_2 5\cdot\log_5 32=\log_2 32=5$$

Odpowiedź: $5$.

Krok 1 — nawias (dodajemy wykładniki):

$$2^{3-5}=2^{-2}$$

Krok 2 — potęga potęgi (mnożymy wykładniki):

$$\left(2^{-2}\right)^2=2^{-4}=\frac{1}{16}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{16}$.

Szukamy wykładnika dla podstawy $10$:

$$10^{-2}=\frac{1}{100}=0{,}01 \quad\Rightarrow\quad \log_{10} 0{,}01=-2$$

Reguła: logarytm liczby mniejszej od $1$ (przy podstawie $>1$) jest ujemny.

Odpowiedź: C. $-2$.

Krok 1 — obliczamy każdy logarytm:

$$\log_3 27=3 \quad (\text{bo } 3^3=27)$$

$$\log_3\frac19=-2 \quad (\text{bo } 3^{-2}=\tfrac19)$$

Krok 2 — dodajemy:

$$3+(-2)=1$$

Sprawdzenie wzorem: $\log_3\left(27\cdot\frac19\right)=\log_3 3=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

Wzór na logarytm potęgi — wykładnik wychodzi przed logarytm:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Sprawdzenie dla $a=2$, $x=4$: $\log_2 64=6$ oraz $3\log_2 4=3\cdot2=6$ ✔

Odpowiedź: A. $3\log_a x$.

Mnożymy przez sprzężenie mianownika, czyli $\sqrt5+1$:

$$\frac{4}{\sqrt5-1}\cdot\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{(\sqrt5)^2-1^2}$$

Mianownik upraszcza się ze wzoru na różnicę kwadratów:

$$=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{4}=\sqrt5+1$$

Odpowiedź: $\sqrt5+1\approx3{,}24$.