Szukamy wykładnika: $2^?=8$. Ponieważ $2^3=8$:

$$\log_2 8=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

Szukamy $x$ takiego, że $3^x=81$. Ponieważ $81=3^4$:

$$\log_3 81=4$$

Odpowiedź: $4$.

Ponieważ $a^0=1$ dla każdego $a$:

$$\log_a 1=0$$

Odpowiedź: A. $0$.

$$\log_5 5=1 \quad (\text{bo } 5^1=5)$$

$$\log_7 1=0 \quad (\text{bo } 7^0=1)$$

Odpowiedź: $1$ oraz $0$.

Krok 1 — zapisujemy jako potęgę dwójki:

$$\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4}$$

Krok 2 — logarytm:

$$\log_2 2^{-4}=-4$$

Odpowiedź: $-4$.

$$\log_a x+\log_a y=\log_a(xy)$$

Odpowiedź: C. $\log(xy)$.

Sposób 1 — wzór na sumę:

$$\log_2 4+\log_2 8=\log_2(4\cdot8)=\log_2 32=5$$

Sposób 2 — osobno: $\log_2 4=2$, $\log_2 8=3$, razem $5$ ✔

Odpowiedź: $5$.

Krok 1 — wzór na różnicę logarytmów:

$$\log_3 18-\log_3 2=\log_3\frac{18}{2}=\log_3 9$$

Krok 2 — obliczamy:

$$\log_3 9=2$$

Odpowiedź: $2$.

Wzór na logarytm potęgi:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Odpowiedź: D. $n\log_a x$.

$$\log_2 8^3=3\log_2 8=3\cdot3=9$$

Sprawdzenie: $8^3=512=2^9$, więc $\log_2 512=9$ ✔

Odpowiedź: $9$.

$1000=10^3$, więc:

$$\log_{10} 1000=3$$

Uwaga: logarytm o podstawie $10$ nazywamy dziesiętnym i piszemy krótko $\log 1000=3$.

Odpowiedź: B. $3$.

Krok 1 — łączymy w jeden logarytm iloczynu:

$$\log_2\left(3\cdot\frac{4}{3}\cdot2\right)$$

Krok 2 — upraszczamy iloczyn:

$$3\cdot\frac{4}{3}\cdot2=4\cdot2=8$$

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Odpowiedź: $3$.

Z definicji logarytmu:

$$\log_2 x=5 \iff x=2^5=32$$

Odpowiedź: $x=32$.

Szukamy $x$: $4^x=2$. Ponieważ $4^{1/2}=\sqrt4=2$:

$$\log_4 2=\frac12$$

Odpowiedź: A. $\frac12$.

Krok 1 — zamieniamy na postać wykładniczą:

$$x+1=3^2=9$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x=8$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę. Argument musi być dodatni: $x+1=9>0$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Wzór na logarytm potęgi „w drugą stronę”:

$$2\log_5 3=\log_5 3^2=\log_5 9$$

Odpowiedź: C. $\log_5 9$.

$\log 8$ — potęga dwójki:

$$\log 8=\log 2^3=3\log 2\approx3\cdot0{,}301=0{,}903$$

$\log 5$ — sprytnie przez $\frac{10}{2}$:

$$\log 5=\log\frac{10}{2}=\log 10-\log 2\approx1-0{,}301=0{,}699$$

Metoda. Trudne logarytmy sprowadzamy do znanych, korzystając z własności działań.

Odpowiedź: $\log 8\approx0{,}903$, $\log 5\approx0{,}699$.

Krok 1 — dziedzina. Oba argumenty dodatnie: $x>0$ oraz $x-2>0$, czyli $x>2$.

Krok 2 — łączymy logarytmy:

$$\log_2\bigl(x(x-2)\bigr)=3$$

Krok 3 — postać wykładnicza:

$$x(x-2)=2^3=8 \quad\Rightarrow\quad x^2-2x-8=0$$

Krok 4 — rozwiązujemy: $\Delta=4+32=36$, $x=\frac{2\pm6}{2}$, więc $x=4$ lub $x=-2$.

Krok 5 — odrzucamy $x=-2$ (poza dziedziną $x>2$).

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — łączymy w logarytm iloczynu:

$$\log_6 4+\log_6 9=\log_6(4\cdot9)=\log_6 36$$

Krok 2 — obliczamy ($36=6^2$):

$$\log_6 36=2$$

Ładne rozwiązanie. Choć $\log_6 4$ i $\log_6 9$ osobno nie są „ładne”, ich suma jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — wzór na zamianę podstawy. Zapiszmy oba logarytmy w podstawie $a$:

$$\log_b a=\frac{\log_a a}{\log_a b}=\frac{1}{\log_a b}$$

Krok 2 — mnożymy:

$$\log_a b\cdot\log_b a=\log_a b\cdot\frac{1}{\log_a b}=1 \qquad ∎$$

Wniosek. Logarytmy o „zamienionych” podstawie i argumencie są swoimi odwrotnościami.

Sprawdzenie: $\log_2 8\cdot\log_8 2=3\cdot\frac13=1$ ✔