Cecha podzielności przez $3$: suma cyfr liczby musi być podzielna przez $3$.

Przykład: $531$ — suma cyfr $5+3+1=9$, dzieli się przez $3$ ✔

Odpowiedź: B. suma cyfr dzieli się przez $3$.

Cecha podzielności przez $4$: dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$:

$$28:4=7$$

Skoro $28$ dzieli się przez $4$, to cała liczba $4128$ też.

Odpowiedź: tak, dzieli się przez $4$.

$\pi$ ma nieskończone, nieokresowe rozwinięcie dziesiętne, więc jest niewymierna:

$$\pi=3{,}14159\ldots$$

Odpowiedź: A. niewymierną.

$$L=2\pi r=2\cdot\frac{22}{7}\cdot7=44$$

Dlaczego $\frac{22}{7}$: promień $7$ skraca się z mianownikiem, dając okrągły wynik.

Odpowiedź: $L=44$.

Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone (np. $0{,}25$) albo nieskończone okresowe (np. $0{,}(3)$).

Rozwinięcie nieokresowe mają tylko liczby niewymierne.

Odpowiedź: C. skończone albo nieskończone okresowe.

Suma cyfr:

$$2+5+2+0=9$$

Skoro $9$ dzieli się przez $9$, to liczba $2520$ też.

Odpowiedź: tak, dzieli się przez $9$.

Krok 1 — oznaczamy: $x=0{,}777\ldots$

Krok 2 — mnożymy przez $10$: $10x=7{,}777\ldots$

Krok 3 — odejmujemy:

$$10x-x=7 \quad\Rightarrow\quad 9x=7 \quad\Rightarrow\quad x=\frac79$$

Sprawdzenie: $7:9=0{,}777\ldots$ ✔

Odpowiedź: $\frac79$.

$6=2\cdot3$, a $2$ i $3$ są względnie pierwsze, więc liczba dzieli się przez $6$ dokładnie wtedy, gdy dzieli się przez $2$ i przez $3$.

Odpowiedź: D. $2$ i $3$.

Długość okręgu:

$$L=2\pi r=10\pi$$

Pole koła:

$$P=\pi r^2=25\pi$$

Uwaga: długość zależy od $r$ liniowo, pole od $r^2$.

Odpowiedź: $L=10\pi$, $P=25\pi$.

Podzielność przez $5$: ostatnia cyfra $0$ lub $5$. Niepodzielność przez $2$: ostatnia cyfra nieparzysta.

Liczba $135$ kończy się na $5$ — podzielna przez $5$, nieparzysta, więc niepodzielna przez $2$.

Pozostałe kończą się na $0$ — podzielne przez oba.

Odpowiedź: B. $135$.

Mianownik $8=2^3$ zawiera tylko dwójki, więc rozwinięcie jest skończone:

$$\frac38=0{,}375$$

Reguła: ułamek nieskracalny ma rozwinięcie skończone, gdy w mianowniku występują tylko czynniki $2$ i $5$.

Odpowiedź: A. skończone.

Krok 1 — promień z długości:

$$2\pi r=18\pi \quad\Rightarrow\quad r=9$$

Krok 2 — średnica:

$$d=2r=18$$

Odpowiedź: $r=9$, $d=18$.

Krok 1 — oznaczamy: $x=0{,}121212\ldots$

Krok 2 — okres ma dwie cyfry, mnożymy przez $100$:

$$100x=12{,}1212\ldots$$

Krok 3 — odejmujemy:

$$99x=12 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$$

Sprawdzenie: $4:33=0{,}1212\ldots$ ✔

Odpowiedź: $\frac{4}{33}$.

Cecha podzielności przez $10$: ostatnia cyfra musi być zerem.

Wynika to z tego, że $10=2\cdot5$ — liczba musi dzielić się i przez $2$, i przez $5$, co daje końcówkę $0$.

Odpowiedź: C. ostatnia cyfra to $0$.

Krok 1 — droga na jeden obrót to długość okręgu:

$$L=2\pi r=2\cdot\frac{22}{7}\cdot35=220\ \text{cm}$$

Krok 2 — po $100$ obrotach:

$$100\cdot220=22\ 000\ \text{cm}=220\ \text{m}$$

Odpowiedź: $220$ m.

Mianownik $6=2\cdot3$ zawiera czynnik $3$, więc rozwinięcie nie jest skończone:

$$\frac56=0{,}8(3)$$

To rozwinięcie nieskończone okresowe.

Odpowiedź: B. nieskończone okresowe.

Krok 1 — liczba dzieli się przez $4$ i $9$, a że są względnie pierwsze, dzieli się przez $36$.

Krok 2 — największa trzycyfrowa wielokrotność $36$. Dzielimy $999$ przez $36$:

$$999:36=27\ \text{reszty}\ 27$$

$$36\cdot27=972$$

Krok 3 — sprawdzenie. $972$: dwie ostatnie cyfry $72:4=18$ ✔; suma cyfr $9+7+2=18$ dzieli się przez $9$ ✔

Odpowiedź: $972$.

Krok 1 — oznaczamy: $x=0{,}999\ldots$

Krok 2 — mnożymy przez $10$:

$$10x=9{,}999\ldots$$

Krok 3 — odejmujemy stronami. Nieskończone ogony się skracają:

$$10x-x=9 \quad\Rightarrow\quad 9x=9 \quad\Rightarrow\quad x=1$$

Wniosek. Zatem $0{,}(9)=1$ — to nie przybliżeni