Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść $2$, aby otrzymać $32$:

$$2^5=32 \quad\Rightarrow\quad \log_2 32=5$$

Odpowiedź: B.

Metoda 1 — osobno:

$$\log_3 9=2,\qquad \log_3 27=3 \quad\Rightarrow\quad 2+3=5$$

Metoda 2 — logarytm iloczynu:

$$\log_3 9+\log_3 27=\log_3(9\cdot27)=\log_3 243=5$$

Odpowiedź: $5$.

Pierwsza potęga:

$$8^{\frac23}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$$

Szybciej: $8=2^3$, więc $(2^3)^{\frac23}=2^2=4$.

Druga potęga — ujemny wykładnik to odwrotność:

$$16^{-\frac12}=\frac{1}{16^{\frac12}}=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac14$$

Odpowiedź: $4$ oraz $\frac14$.

Szukamy największego kwadratu w liczbie $50$:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$$

Odpowiedź: C. $5\sqrt2\approx7{,}07$.

Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt3$:

$$\frac{6}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$

Odpowiedź: $2\sqrt3$.

Mnożymy przez sprzężenie mianownika, czyli $\sqrt5+\sqrt3$:

$$\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2}$$

$$=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{2}=\sqrt5+\sqrt3$$

Odpowiedź: $\sqrt5+\sqrt3$.

Klucz: sprzężenie zmienia tylko znak między pierwiastkami — dzięki temu w mianowniku powstaje różnica kwadratów bez pierwiastków.

Ujemny wykładnik odwraca ułamek:

$$\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94$$

Odpowiedź: D. Wynik jest dodatni — ujemny wykładnik nie zmienia znaku.

Sprowadzamy do wspólnej podstawy $2$:

$$\log_8 32=\frac{\log_2 32}{\log_2 8}=\frac{5}{3}$$

Odpowiedź: $\frac53$.

Uwaga: w liczniku jest logarytm argumentu, w mianowniku — podstawy. Odwrócenie to najczęstszy błąd.

$\sqrt{16}=4$ — liczba całkowita, więc wymierna.

$0{,}(6)=\frac23$ — ułamek okresowy zawsze da się zapisać jako iloraz liczb całkowitych.

$\frac{22}{7}$ — z definicji wymierna (to tylko przybliżenie liczby $\pi$, nie sama $\pi$).

$\sqrt7$ — nie da się zapisać jako iloraz liczb całkowitych, bo $7$ nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Odpowiedź: niewymierna jest tylko $\sqrt7$.

Przyjmijmy cenę początkową $100$ (dowolna wartość da ten sam wynik procentowy).

Krok 1 — podwyżka:

$$100\cdot1{,}2=120$$

Krok 2 — obniżka, liczona od nowej ceny:

$$120\cdot0{,}8=96$$

Krok 3 — porównanie:

$$\frac{96-100}{100}=-0{,}04=-4\%$$

Odpowiedź: cena spadła o $4\%$.

Ogólnie: $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$ — procenty liczone od różnych podstaw się nie znoszą.

Ponieważ $a^0=1$ dla każdego $a>0$, $a\ne1$:

$$\log_a 1=0$$

Odpowiedź: A. Warto też pamiętać, że $\log_a a=1$.

$$\sqrt2\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6$$

$$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$$

Odpowiedź: w obu przypadkach $6$.

Liczymy każdy składnik osobno:

$$\log_2 8=3 \qquad (2^3=8)$$

$$\log_3 \tfrac19=-2 \qquad (3^{-2}=\tfrac19)$$

$$\log_5 1=0$$

Suma:

$$3+(-2)-0=1$$

Odpowiedź: $1$.

Licznik — przy mnożeniu wykładniki dodajemy:

$$2^7\cdot2^{-3}=2^{7-3}=2^4$$

Dzielenie — wykładniki odejmujemy:

$$\frac{2^4}{2^2}=2^{2}=4$$

Odpowiedź: $2^2=4$.

Krok 1 — uprość każdy pierwiastek:

$$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3$$

$$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3$$

Krok 2 — dodaj wyrazy podobne:

$$2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3$$

Wniosek: $\sqrt{12}+\sqrt{27}=5\sqrt3$. ∎

Uwaga: nie wolno napisać $\sqrt{12}+\sqrt{27}=\sqrt{39}$ — pierwiastek sumy nie równa się sumie pierwiastków.

$$\frac13=0{,}333\ldots=0{,}(3)$$

Odpowiedź: B. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie skończone albo nieskończone okresowe. Rozwinięcie nieskończone nieokresowe mają wyłącznie liczby niewymierne, np. $\pi$ czy $\sqrt2$.

Kapitał po $n$ latach: $K_n=5000\cdot1{,}03^n$.

Po 3 latach:

$$5000\cdot1{,}0927\approx5463{,}50\ \text{zł} \quad<5500$$

Po 4 latach:

$$5000\cdot1{,}1255\approx5627{,}50\ \text{zł} \quad>5500$$

Odpowiedź: po $4$ latach.

$$\sqrt[3]{-27}=-3 \qquad ((-3)^3=-27)$$

$$\sqrt{81}=9$$

$$-3+9=6$$

Odpowiedź: $6$.

Różnica: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, kwadratowy nie.

Krok 1 — zapis zależności:

$$x=0{,}4y,\qquad y=1{,}5z$$

Krok 2 — podstawienie:

$$x=0{,}4\cdot1{,}5z=0{,}6z$$

Odpowiedź: $x$ stanowi $60\%$ liczby $z$.

Uwaga: procenty mnożymy, a nie dodajemy — $40\%+150\%$ nie ma tu sensu.

Krok 1 — rozbijamy logarytm iloczynu:

$$\log_2(4a)=\log_2 4+\log_2 a$$

Krok 2 — obliczamy składniki:

$$\log_2 4=2,\qquad \log_2 a=3\ \text{(z założenia)}$$

Krok 3 — suma:

$$\log_2(4a)=2+3=5$$ ∎

Sprawdzenie liczbowe: z $\log_2 a=3$ wynika $a=8$, więc $4a=32$, a $\log_2 32=5$. ✔