$$y=ax+b$$

gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, $b$ — wyraz wolny.

Odpowiedź: B. $y=ax+b$.

$$f(4)=2\cdot4-3=8-3=5$$

Odpowiedź: $5$.

Współczynnik kierunkowy to liczba przy $x$:

$$a=3$$

Odpowiedź: A. $3$.

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$:

$$2x-8=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Odpowiedź: $x=4$.

O monotoniczności decyduje znak współczynnika kierunkowego. Dla $a>0$ funkcja rośnie.

Odpowiedź: C. $a>0$.

Podstawiamy $x=2$:

$$f(2)=3\cdot2+1=7$$

Wartość funkcji ($7$) zgadza się z drugą współrzędną punktu.

Odpowiedź: tak, punkt $A$ należy do wykresu.

Miejsce zerowe ($f(x)=0$):

$$-\tfrac12 x+3=0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac12 x=3 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Przecięcie z osią $OY$ ($x=0$):

$$f(0)=3 \quad\Rightarrow\quad (0,3)$$

Odpowiedź: miejsce zerowe $x=6$, przecięcie z $OY$ w $(0,3)$.

Dla $a=0$ funkcja $y=b$ jest stała — jej wykresem jest prosta pozioma.

Odpowiedź: D. stała.

Krok 1 — wyraz wolny. Punkt $(0,2)$ daje $b=2$.

Krok 2 — współczynnik kierunkowy ze wzoru na nachylenie:

$$a=\frac{5-2}{1-0}=3$$

Krok 3 — wzór:

$$y=3x+2$$

Odpowiedź: $y=3x+2$.

Proste $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$ są równoległe, gdy $a_1=a_2$.

Odpowiedź: A. równe współczynniki kierunkowe.

Krok 1 — równoległość. Ten sam współczynnik kierunkowy: $a=2$.

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $(0,-3)$ daje $b=-3$.

$$y=2x-3$$

Odpowiedź: $y=2x-3$.

Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych:

$$2\cdot\left(-\tfrac12\right)=-1$$

Iloczyn $-1$ oznacza prostopadłość.

Odpowiedź: B. prostopadłe.

Krok 1 — postać: $y=-2x+b$.

Krok 2 — miejsce zerowe $x=3$ oznacza $f(3)=0$:

$$-2\cdot3+b=0 \quad\Rightarrow\quad b=6$$

Krok 3 — wzór:

$$y=-2x+6$$

Odpowiedź: $y=-2x+6$.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Odpowiedź: C. prosta.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{12-3}{4-1}=\frac{9}{3}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny (podstawiamy punkt $(1,3)$ do $y=3x+b$):

$$3=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=0$$

Krok 3 — wzór:

$$y=3x$$

Sprawdzenie: $f(4)=12$ ✔

Odpowiedź: $y=3x$.

Współczynnik kierunkowy $a=-3\lt 0$, więc funkcja jest malejąca.

Odpowiedź: A. malejąca.

Krok 1 — model funkcją liniową. Koszt $k$ w zależności od liczby kilometrów $x$:

$$k(x)=3x+8$$

Krok 2 — koszt dla $x=12$:

$$k(12)=3\cdot12+8=36+8=44\ \text{zł}$$

Interpretacja. Wyraz wolny $8$ to opłata stała, współczynnik $3$ to koszt za kilometr.

Odpowiedź: $k(x)=3x+8$; przejazd $12$ km kosztuje $44$ zł.

Krok 1 — warunek stałości. Funkcja jest stała, gdy współczynnik kierunkowy równa się zeru:

$$m-2=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$m=2$$

Sprawdzenie. Dla $m=2$ mamy $f(x)=0\cdot x+5=5$ — funkcja stała ✔

Odpowiedź: $m=2$.

Krok 1 — warunek równoległości. Równe współczynniki kierunkowe:

$$2m+1=5$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$2m=4 \quad\Rightarrow\quad m=2$$

Uwaga. Wyrazy wolne ($3\neq-4$) są różne, więc proste są równoległe, a nie pokrywające się — warunek spełniony.

Odpowiedź: $m=2$.

Krok 1 — założenie. Prosta ma postać $y=ax+b$ i przechodzi przez oba punkty, więc:

$$y_1=ax_1+b,\qquad y_2=ax_2+b$$

Krok 2 — odejmujemy równania stronami (znika $b$):

$$y_2-y_1=a(x_2-x_1)$$

Krok 3 — dzielimy przez $x_2-x_1\neq0$:

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \qquad ∎$$

Wniosek. Współczynnik kierunkowy to „przyrost $y$ na jednostkę przyrostu $x$”. Założenie $x_1\neq x_2$ jest konieczne — dla równych odciętych prosta byłaby pionowa i nie jest wykresem funkcji.

Sprawdzenie dla $(1,3)$, $(4,12)$: $a=\frac{12-3}{4-1}=3$ — zgodnie z zad. 15 ✔