Zadanie brzmi dość skomplikowanie, więc ustalmy co tak naprawdę musimy policzyć. Zsumowano cztery liczby parzyste podzielne przez \(3\) (które następują po sobie) i otrzymano wynik równy \(2^2\cdot3^3\). To od razu obliczmy, co kryje się pod tym iloczynem potęg, zatem:
$$2^2\cdot3^3=4\cdot27=108$$

Zastanówmy się teraz, czym są liczby parzyste podzielne przez \(3\). To tak naprawdę muszą być liczby, które są jednocześnie podzielne przez \(2\) i przez \(3\), czyli są podzielne przez \(6\). Moglibyśmy więc zapisać, że pierwsza taka liczba to \(6x\), a każda kolejna będzie od niej o \(6\) większa, czyli:
\(6x\) - pierwsza liczba
\(6x+6\) - druga liczba
\(6x+12\) - trzecia liczba
\(6x+18\) - czwarta liczba

Skoro suma tych liczba ma być równa \(108\), to:
$$6x+6x+6+6x+12+6x+18=108 \           ,\
24x+36=108 \           ,\
24x=72 \           ,\
x=3$$

Największa z liczb jest opisana jako \(6x+18\), czyli będzie ona równa:
$$6\cdot3+18=18+18=36$$

Na początek obliczmy wartość podanego wyrażenia, pamiętając oczywiście o kolejności wykonywania działań (najpierw dzielenie, potem dodawanie):
$$-4+3\cdot(-2)=-4+(-6)=-4-6=-10$$

Wartość tego wyrażenia ma być pomniejszona o liczbę \((-5)\), czyli:
$$-10-(-5)=-10+5=-5$$

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Skoro na uszycie \(15\) spódnic potrzeba \(21m\) materiału, to na uszycie pięciokrotnie mniejszej liczby sztuk (czyli trzech sztuk), trzeba pięć razy mniej materiału. To oznacza, że potrzebujemy:
$$21m:5=4,2m$$

Wniosek z tego płynie taki, że \(4m\) materiału to za mało, więc prawidłową odpowiedzią będzie informacja, że wystarczy \(5m\) materiału.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Skoro \(21m\) materiału starczy na \(15\) spódnic, to na każdą spódnicę potrzebujemy \(\frac{21m}{15}=1,4m\) materiału. To oznacza, że \(33m\) materiału starczy na \(\frac{33}{1,4}\approx23,6\) spódnic. Wniosek jest więc taki, że możemy uszyć co najwyżej \(23\) spódnice (na \(24\) zabraknie końcówki materiału).

Gdybyśmy chcieli ustalić tylko to, czy Andrzej przejedzie \(10km\), to wystarczyłoby policzyć jaki dystans pokona w \(15\) minut, czyli wykonać mnożenie:
$$15\cdot650m=9750m=9,75km$$

To by oznaczało, że Andrzej nie pokona dystansu \(10km\). Na tym jednak to zadanie się dla nas nie kończy, ponieważ musimy jeszcze wybrać dobry powód, czyli dobrą końcówkę zdania. Możemy oczywiście próbować wyliczać każdą z potrzebnych informacji, ale jak się tak dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że jadąc z prędkością \(40\frac{km}{h}\), Andrzej pokonałby w ciągu \(15\) minut (czyli w \(\frac{1}{4}h\)) dystans równy \(\frac{1}{4}h\cdot40\frac{km}{h}=10km\). Skoro więc ten dystans nie został pokonany, to znaczy, że jechał nieco wolniej.

W związku z tym odpowiedź brzmi: "Nie, ponieważ jedzie ze średnią prędkością mniejszą niż \(40\frac{km}{h}\)".

Pani Ela ma łącznie \(2+1+3=6\) banknotów. Chcąc zapłacić za zakupy jednym banknotem, może użyć jednego z dwóch o nominale \(50zł\) lub o nominale \(20zł\). Pasujących banknotów mamy więc \(2+1=3\) sztuki. To oznacza, że prawdopodobieństwo, że że pani Ela za te zakupy zapłaci jednym banknotem wynosi:
$$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy omawiany w treści zadania prostokąt i przy okazji wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:


Z analizy rysunku wynika, że długość prostokąta będzie dwa razy większa niż wysokość prostokąta (i tym samym równoległoboku).

Krok 2. Obliczenie wysokości równoległoboku.
Chcąc poznać wysokość równoległoboku, skorzystamy z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Spójrzmy na zaznaczony zielony trójkąt. Bok o długości \(6\) jest przeciwprostokątną naszego zielonego trójkąta prostokątnego. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), krótsza przyprostokątna będzie miała miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej, czyli w naszym przypadku \(a=3\). Tym samym dłuższa przyprostokątna będąca wysokością równoległoboku będzie miała długość \(h=3\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości drugiego boku równoległoboku.
Dłuższy bok równoległoboku będzie sumą długości krótszej przyprostokątnej naszego trójkąta oraz dłuższego boku prostokąta. Zgodnie z treścią zadania, ten dłuższy bok prostokąta będzie dwa razy dłuższy niż wysokość, czyli będzie miał:
$$x=2\cdot3\sqrt{3} \           ,\
x=6\sqrt{3}$$

Skoro tak, to poszukiwany drugi bok równoległoboku będzie miał miarę:
$$b=6\sqrt{3}+3$$

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Mamy wyrażenie, w którym znalazły się jednakowe podstawy potęg, zatem będziemy dodawać/odejmować wykładniki:
$$a^4\cdot a^3:a^2=a^{4+3-2}=a^5$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$(a^2 b)^3\cdot b=(a^2)^3\cdot b^3\cdot b=a^{2\cdot3}\cdot b^{2+1}=a^6\cdot b^4$$

Krok 1. Obliczenie długości boków prostokąta.
Wprowadźmy do zadania następujące obliczenia:
\(x\) - długość prostokąta
\(x-2\) szerokość prostokąta

Skoro obwód tej figury jest równy \(28\), to:
$$2\cdot+2\cdot(x-2)=28 \           ,\
2x+2x-4=28 \           ,\
4x-4=28 \           ,\
4x=32 \           ,\
x=8$$

W ten sposób obliczyliśmy długość prostokąta, a zatem jego szerokość wyniesie:
$$8-2=6$$

To oznacza, że jest to prostokąt o wymiarach \(8cm\times6cm\).

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Boki prostokąta oraz przekątna tworzą trójkąt prostokątny, zatem poszukiwaną długość przekątnej możemy wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa:
$$6^2+8^2=d^2 \           ,\
36+64=d^2 \           ,\
d^2=100 \           ,\
d=10 \quad\lor\quad d=-10$$

Oczywiście ujemny wynik nas nie interesuje, bo długość przekątnej musi być dodania, zatem zostaje nam \(d=10cm\).

Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Szerokość prostokąta jest równa \(6cm\), długość to \(8cm\), zatem szerokość stanowi:
$$\frac{6cm}{8cm}=\frac{3}{4}$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(DCE\).
Kąt DCE składa się z kąta prostego oraz kąta \(BCE\). Jeżeli trójkąt \(BEC\) jest równoboczny, to kąt \(BCE\) jest kątem o mierze \(60°\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle DCE|=90°+60°=150°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(CDE\).
Trójkąt \(DEC) jest trójkątem równoramiennym (boki \(DC) oraz \(CE) mają jednakową długość, ponieważ bok kwadratu i trójkąta ma tą samą miarę). Z własności takich trójkątów wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro kąt między ramionami ma \(150°\), to na kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-150°=30°\). Tym samym kąt \(CDE\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle CDE|=30°:2=15°$$