Obliczmy wartość każdego z wyrażeń:
$$(2\sqrt{3})^2=2^2\cdot(\sqrt{3})^2=4\cdot3=12 \           ,\
2\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}=8\cdot2=16 \           ,\
\frac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{18}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{36}}{2}=\frac{4\cdot6}{2}=12$$

Mniejsze od \(15\) są więc wyrażenia pierwsze oraz trzecie.

Do zadania można podejść na wiele sposobów, można nawet układać odpowiednie równania i tworzyć klasyczny układ równań. Jednak można też postąpić nieco sprytniej i szybciej.

Skoro chłopców jest \(65\%\), to dziewczyn jest \(35\%\). Wiemy też, że ta różnica \(65\%-35\%=30\%\) to dokładnie \(60\) uczniów. Teraz możemy ułożyć prostą proporcję. Wiedząc, że dziewczyny stanowią \(35\%\) szkoły i wiedząc że \(30\%\) szkoły to \(60\) uczniów możemy zapisać, że:
Skoro \(30\%\) to \(60\) uczniów
To \(5%\) to \(10\) uczniów
Zatem \(35\%\) to \(70\) uczniów

To oznacza, że do egzaminu przystąpiło \(70\) dziewczyn.

Krok 1. Ustalenie kiedy wartość różnicy \(x-y\) będzie najmniejsza.
Aby różnica była jak najmniejsza, to te nasze dwie liczby muszą być jak najbliżej siebie na osi liczbowej. Stanie się tak wtedy, kiedy \(x\) będzie jak najmniejszy, czyli kiedy \(x=8\) oraz kiedy \(y\) będzie jak największy, czyli kiedy \(y=-2\).

Krok 2. Obliczenie minimalnej różnicy.
Najmniejsza różnica będzie zatem równa: \(8-(-2)=10\).

Krok 1. Interpretacja rysunku.
Musimy dobrze zinterpretować rysunek. Na pewno nie można wnioskować, że skoro \(2\) elementy zajmują \(12cm\), to \(1\) element zajmuje \(6cm\), zatem \(3\) elementy zajmą \(18cm\). Ten wniosek byłby błędny, bo elementy zachodzą na siebie. Trzeba więc zauważyć, że jak do jednego elementu startowego dołożyliśmy jeden puzzel to długość figury wynosi \(12cm\). Jak do elementu startowego dołożyliśmy trzy puzzle, to długość wzrosła do \(21cm\).

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Matematycznie zapisując nasze wnioski z pierwszego kroku otrzymamy:
\(x\) - puzzel startowy
\(y\) - puzzle dołożone
$$\begin{cases}
x+y=12 \           ,\
x+3y=21
\end{cases}$$

Przekształcając pierwsze równanie do postaci \(x=12-y\) możemy zastosować metodę podstawiania:
$$12-y+3y=21 \           ,\
12+2y=21 \           ,\
2y=9 \           ,\
y=4,5$$

Podstawiając obliczonego igreka np. do pierwszego równania otrzymamy:
$$x+4,5=12 \           ,\
x=7,5$$

To oznacza, że puzzel startowy zajmuje \(7,5cm\), a każdy kolejny dołożony powiększa długość figury o \(4,5cm\).

Krok 3. Obliczenie długości poszukiwanej figury.
Nas interesuje długość figury składającej się z jednego elementu podstawowego oraz dwóch elementów dodanych, zatem:
$$x+2y=7,5+2\cdot4,5=7,5+9=16,5[cm]$$

W pierwszym koszu znajduje się \(8+12=20\) piłek.
Skoro \(12\) z nich jest czarnych to szanse na wylosowanie czarnej piłki wynoszą \(\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\).

W drugim koszu znajduje się \(10+15=25\) piłek.
Skoro \(15\) z nich jest czarnych to szanse na wylosowanie czarnej piłki wynoszą \(\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\).

Szanse na wylosowanie czarnej piłki są więc takie same w obu koszach. Prawidłową odpowiedzią jest zatem: Nie, ponieważ stosunek liczby piłek czarnych do liczby wszystkich piłek jest taki sam w obu koszach.

Prawidłowego przekształcenia dokonał Bartek, ponieważ:
$$F=G\cdot\frac{mM}{r^2} \           ,\
Fr^2=GmM \           ,\
r^2=\frac{GmM}{F} \           ,\
r=\sqrt{\frac{GmM}{F}}$$

Aby obliczyć ile wynosi różnica między kwotą uzyskaną za sprzedać, a kosztami zakupu (czyli tak naprawdę ile wynosi zysk), musimy od zarobionej kwoty (czyli \(180zł\)) odjąć sumę poniesionych wydatków, czyli \(m\cdot1,5+b\cdot0,9\). Takie działanie jest zaprezentowane jedynie w trzeciej odpowiedzi i to ona jest tą prawidłową.